题目
设总体 X 和 Y 相互独立且都服从正态分布(mu ,(0)^2),overrightarrow (X),overrightarrow (Y)-|||-__分别是来自总体 X 和 Y 的 容量 n 的样本均值则当 n 固定时，概率(mu ,(0)^2),overrightarrow (X),overrightarrow (Y)-|||-__的值随着(mu ,(0)^2),overrightarrow (X),overrightarrow (Y)-|||-__ 的增大而( ) .( A ) 单调增大 ; ( B ) 单调减小 ; ( C ) 保持不变 ; ( D ) 增减不定
设总体 X 和 Y 相互独立且都服从正态分布
分别是来自总体 X 和 Y 的 容量 n 的样本均值则当 n 固定时，概率
的值随着
的增大而( ) .
( A ) 单调增大 ; ( B ) 单调减小 ;
( C ) 保持不变 ; ( D ) 增减不定
题目解答
答案
由
可得
得到
,
所以
,
,显然P只与n有关，与 无关，所以，当 n 固定时，概率随着 的增大而保持不变。答案选C。
解析
步骤 1：确定样本均值的分布
由于总体 X 和 Y 都服从正态分布$N(\mu ,{\sigma }^{2})$，且样本容量为 n，根据中心极限定理，样本均值$\overline {X}$和$\overline {Y}$也服从正态分布，即$\overline {X}\sim N(\mu ,\dfrac {{\sigma }^{2}}{n})$和$\overline {Y}\sim N(\mu ,\dfrac {{\sigma }^{2}}{n})$。
步骤 2：确定$\overline {X}-\overline {Y}$的分布
由于$\overline {X}$和$\overline {Y}$相互独立，$\overline {X}-\overline {Y}$的分布为$N(0,\dfrac {2{\sigma }^{2}}{n})$，即$\overline {X}-\overline {Y}\sim N(0,\dfrac {2{\sigma }^{2}}{n})$。
步骤 3：计算概率$p\{ |\overline {X}-\overline {Y}|\gt 0\}$
由于$\overline {X}-\overline {Y}$的分布为$N(0,\dfrac {2{\sigma }^{2}}{n})$，其概率密度函数在0处对称，因此$p\{ |\overline {X}-\overline {Y}|\gt 0\}=1$，与$\sigma$无关，只与n有关。
由于总体 X 和 Y 都服从正态分布$N(\mu ,{\sigma }^{2})$，且样本容量为 n，根据中心极限定理，样本均值$\overline {X}$和$\overline {Y}$也服从正态分布，即$\overline {X}\sim N(\mu ,\dfrac {{\sigma }^{2}}{n})$和$\overline {Y}\sim N(\mu ,\dfrac {{\sigma }^{2}}{n})$。
步骤 2：确定$\overline {X}-\overline {Y}$的分布
由于$\overline {X}$和$\overline {Y}$相互独立，$\overline {X}-\overline {Y}$的分布为$N(0,\dfrac {2{\sigma }^{2}}{n})$，即$\overline {X}-\overline {Y}\sim N(0,\dfrac {2{\sigma }^{2}}{n})$。
步骤 3：计算概率$p\{ |\overline {X}-\overline {Y}|\gt 0\}$
由于$\overline {X}-\overline {Y}$的分布为$N(0,\dfrac {2{\sigma }^{2}}{n})$，其概率密度函数在0处对称，因此$p\{ |\overline {X}-\overline {Y}|\gt 0\}=1$，与$\sigma$无关，只与n有关。