设总体 X sim N(0, sigma^2), X_1, X_2, ldots, X_n 是总体 X 的一个简单随机样本, overline(X), S^2 分别为样本均值和样本方差, 在下列样本函数中, 服从 chi^2(n) 分布的是().A. sum_(i=1)^n X_i^2B. (1)/(sigma^2) sum_(i=1)^n X_i^2C. ((n-1)S^2)/(sigma^2)D. (overline(X))/(S / sqrt(n-1))

考查要点：本题主要考查卡方分布的定义及其在正态总体样本中的应用，涉及标准化正态变量、样本方差的分布性质等知识点。

解题核心思路：

1. 卡方分布的定义：若 $Y_1, Y_2, \ldots, Y_n$ 是独立的标准正态变量（$N(0,1)$），则 $\sum_{i=1}^n Y_i^2 \sim \chi^2(n)$。
2. 标准化处理：将原总体变量 $X_i \sim N(0, \sigma^2)$ 标准化为 $Y_i = \frac{X_i}{\sigma} \sim N(0,1)$。
3. 选项分析：逐一验证各选项是否符合卡方分布的定义或相关性质，特别注意自由度和标准化形式。

破题关键点：

• 选项 B 的形式 $\frac{1}{\sigma^2} \sum_{i=1}^n X_i^2$ 可转化为 $\sum_{i=1}^n Y_i^2$，直接满足卡方分布的定义。
• 选项 C 的自由度为 $n-1$，与题目要求的 $\chi^2(n)$ 不符。
• 选项 D 的结构符合 t 分布，而非卡方分布。

选项分析

选项 A：$\sum_{i=1}^n X_i^2$

• 标准化处理：$X_i \sim N(0, \sigma^2)$，标准化后 $Y_i = \frac{X_i}{\sigma} \sim N(0,1)$。
• 平方和形式：$\sum_{i=1}^n X_i^2 = \sigma^2 \sum_{i=1}^n Y_i^2$，服从 $\sigma^2 \cdot \chi^2(n)$，而非 $\chi^2(n)$。
• 结论：不满足卡方分布。

选项 B：$\frac{1}{\sigma^2} \sum_{i=1}^n X_i^2$

• 标准化处理：$\frac{X_i}{\sigma} \sim N(0,1)$，因此 $\frac{X_i^2}{\sigma^2} \sim \chi^2(1)$。
• 平方和形式：$\frac{1}{\sigma^2} \sum_{i=1}^n X_i^2 = \sum_{i=1}^n \left( \frac{X_i}{\sigma} \right)^2 = \sum_{i=1}^n Y_i^2$，直接服从 $\chi^2(n)$。
• 结论：正确选项。

选项 C：$\frac{(n-1)S^2}{\sigma^2}$

• 样本方差性质：当总体方差为 $\sigma^2$ 时，$\frac{(n-1)S^2}{\sigma^2} \sim \chi^2(n-1)$。
• 自由度不符：题目要求 $\chi^2(n)$，而此处自由度为 $n-1$。
• 结论：不满足题目要求。

选项 D：$\frac{\overline{X}}{S / \sqrt{n-1}}$

• 结构分析：分子 $\overline{X}$ 服从正态分布，分母 $S / \sqrt{n-1}$ 是样本标准差的估计，整体服从 $t(n-1)$ 分布。
• 结论：属于 t 分布，非卡方分布。