题目

2.设X_(1),X_(2),...,X_(n)相互独立，且都服从参数为λ=0.1的泊松分布，试计算P110leqsum_{k=1)^1000X_(k)<130}.已知标准正态分布函数Φ(x)的值：Φ(0.3)=0.6179，Φ(3)=0.9987，Φ(1)=0.8413，Φ(0.1)=0.5398.

2.设$X_{1},X_{2},\cdots,X_{n}$相互独立，且都服从参数为λ=0.1的泊松分布，试计算$P\left\{110\leq\sum_{k=1}^{1000}X_{k}<130\right\}$.已知标准正态分布函数Φ(x)的值：Φ(0.3)=0.6179，Φ(3)=0.9987，Φ(1)=0.8413，Φ(0.1)=0.5398.

题目解答

答案

设 $ S = \sum_{k=1}^{1000} X_k $，则 $ S $ 服从参数为 $ \lambda' = 100 $ 的泊松分布，期望 $ E(S) = 100 $，方差 $ \text{Var}(S) = 100 $。由中心极限定理，$ S $ 近似服从 $ N(100, 100) $。标准化得：

$Z = \frac{S - 100}{10} \sim N(0, 1)$

计算概率：

$P\left\{110 \leq S < 130\right\} = P\left\{1 \leq Z < 3\right\} = \Phi(3) - \Phi(1)$

代入已知值：

$\Phi(3) = 0.9987, \quad \Phi(1) = 0.8413$

$P\left\{1 \leq Z < 3\right\} = 0.9987 - 0.8413 = 0.1574$

答案： $\boxed{0.1574}$

解析

本题考查泊松分布的性质以及中心极限定理的应用。解题思路如下：

  1. 首先确定随机变量之和的分布。因为$X_{1},X_{2},\cdots,X_{n}$相互独立且都服从参数为$\lambda = 0.1$的泊松分布，根据泊松分布的可加性，$\sum_{k=1}^{n}X_{k}$服从参数为$\lambda'=n\lambda$的泊松分布。
  2. 计算$\sum_{k=1}^{1000}X_{k}$的期望和方差。期望$E(\sum_{k=1}^{1000}X_{k}) = 1000\times0.1 = 100$，方差$\text{Var}(\sum_{k=1}^{1000}X_{k}) = 1000\times0.1 = 100$。
  3. 利用中心极限定理对$\sum_{k=1}^{1000}X_{k}$进行近似。当$n$足够大时，$\sum_{k=1}^{n}X_{k}$近似服从正态分布$N(E(\sum_{k=1}^{n}X_{k}),\text{Var}(\sum_{k=1}^{n}X_{k}))$，即$\sum_{k=1}^{1000}X_{k}$近似服从$N(100, 100)$。
  4. 对$\sum_{k=1}^{1000}X_{k}$进行标准化。设$S = \sum_{k=1}^{1000}X_{k}$，则$Z=\frac{S - E(S)}{\sqrt{\text{Var}(S)}}=\frac{S - 100}{10}$近似服从标准正态分布$N(0, 1)$。
  5. 计算所求概率。将$P\left\{110\leq\sum_{k=1}^{1000}X_{k}<130\right\}$转化为关于$Z$的概率，即$P\left\{1\leq Z<3\right\}$。根据标准正态分布的性质，$P\left\{1\leq Z<3\right\}=\Phi(3)-\Phi(1)$。
  6. 代入已知值进行计算。已知$\Phi(3) = 0.9987$，$\Phi(1) = 0.8413$，则$P\left\{1\leq Z<3\right\}=0.9987 - 0.8413 = 0.1574$。