题目

设总体X的分布律为 X=1 =theta ， X=1 =theta ，现检验 X=1 =theta ，已知 X=1 =theta 是来自总体的简单随机样本，且拒绝域为 X=1 =theta ，则犯第二类错误的概率为_______.A.0.007B.0.016C.0.984D.0.968

设总体X的分布律为 $P\left\{X=1\right\}=\theta$ ， $P\left\{X=2\right\}=2\theta,P\left\{X=3\right\}=1-3\theta$ ，现检验 $H_0:\theta=0.1,H_1:\theta=0.2$ ，已知 $X_1,X_2,X_3$ 是来自总体的简单随机样本，且拒绝域为 $\left\{X_1=1,X_2=1,X_3=3\right\}$ ，则犯第二类错误的概率为_______.

A.0.007

B.0.016

C.0.984

D.0.968

题目解答

答案

第二类错误是指在假设检验中，原假设 $H_0$ 实际上是不真实的，但检验统计量的观测值却落入了接受域，导致错误地接受了原假设。简单说，就是当你的假设是错误的时，你却接受了该假设。来自总体的样本 $X_1,X_2,X_3$ 相互独立且都服从总体X的分布，则拒绝域为 $P\left(X_1=1,X_2=1,X_3=3\right)$ $=P\left(X_1=1\right)P\left(X_2=1\right)P\left(X_3=3\right)$ $=\theta^2\left(1-3\theta\right)$ ，则犯第二类错误的概率为 $P\left\{\overline{X_1=1,X_2=1,X_3=3}|H_1\right\}$ $=1-P\left\{\left\{X_1=1,X_2=1,X_3=3\right\}|\theta=0.2\right\}$ $=1-\theta^2\left(1-3\theta\right)|_{\theta=0.2}=1-\theta^2\left(1-3\theta\right)=0.984$ ，因此选择C。

解析

步骤 1：确定原假设和备择假设
原假设${H}_{0}:\theta =0.1$，备择假设${H}_{1}:\theta =0.2$。

步骤 2：计算拒绝域的概率
拒绝域为{${X}_{1}=1,{X}_{2}=1,{X}_{3}=3\} $，则拒绝域的概率为$P({X}_{1}=1,{X}_{2}=1,{X}_{3}=3)$$=P({X}_{1}=1)P({X}_{2}=1)P({X}_{3}=3)$$={\theta }^{2}(1-3\theta )$。

步骤 3：计算犯第二类错误的概率
犯第二类错误的概率为$P\{ \overline {{X}_{1}}=1,{X}_{2}=1,{X}_{3}=3|{H}_{1}\}$$=1-P\{ {X}_{1}=1,{X}_{2}=1,{X}_{3}=3\} ,\theta =0.2\} $$=1-{6}^{2}(1-36){|}_{0}=0.2=1-{6}^{2}(1-36)=0.984$。