题目

30.设X1,X2,X3,X4是来自标准正态总体的样本,则 ({X)_(1)}^2+({X)_(2)}^2+({X)_(3)}^2+({X)_(4)}^2 服从的分-|||-布是() ()-|||-A.t(4)B.N(0,4^2)C.x^2(4)D.F(1,4)

$\begin{aligned} & 30.\text{ 设 }X_1,X_2,X_3,X_4\text{ 是来自标准正态总体的样本,则 }X_1^2+X_2^2+X_3^2+X_4^2\text{服从的分}\\ & \text{布是()}\\ & A.t(4)B.N(0,4^2)C.\chi^2(4)D.F(1,4)\end{aligned}$

题目解答

答案

解：C

解析：

$\begin{aligned}&\text{首先,我们知道}X_1,X_2,X_3,X_1\text{是来自标准正态总体的样本,即}X_i\sim N(0,1)\text{,其中}i=1,2,3,4\text{。}\\&\text{然后,我们考虑}X^2\text{的分布。由于}X\text{是标准正态分布的随机变量,所以}X_i^2\text{服从自由度为1的卡方分布,即}X_i^2\sim\\&\chi^2(1)\text{。}\\&\text{接着,我们考虑}X_1^2+X_i^2+X_i^2+X_i^2\text{的分布。由于}X_i^2\text{ (}i=1,2,3,4\text{)都是独立的,并且都服从自由度为1的卡方分}\\&\text{布,所以}X_1^1+X_2^2+X_i^2+X_i^2\text{服从自由度为4的卡方分布,即}X_1^2+X_2^2+X_i^2+X_i^2\sim\chi^2\text{(4)。}\\&\text{最后,我们对比选项,发现只有选项是}\chi^2(4)\text{分布,所以答案是C。}\end{aligned}$

解析

步骤 1：理解标准正态分布
标准正态分布是指均值为0，方差为1的正态分布，记作 $N(0,1)$。样本 $X_1, X_2, X_3, X_4$ 都是来自这个分布的独立随机变量。

步骤 2：了解卡方分布
卡方分布（$\chi^2$ 分布）是正态分布变量的平方和的分布。如果 $X \sim N(0,1)$，则 $X^2$ 服从自由度为1的卡方分布，记作 $\chi^2(1)$。

步骤 3：计算 ${{X}_{1}}^{2}+{{X}_{2}}^{2}+{{X}_{3}}^{2}+{{X}_{4}}^{2}$ 的分布
由于 $X_1, X_2, X_3, X_4$ 都是独立的，且每个 $X_i^2$ 都服从 $\chi^2(1)$ 分布，因此它们的和 ${{X}_{1}}^{2}+{{X}_{2}}^{2}+{{X}_{3}}^{2}+{{X}_{4}}^{2}$ 服从自由度为4的卡方分布，记作 $\chi^2(4)$。