题目

6.设随机变量X1,X 2,X3相互独立,其中x1在区间[0,6]上服从均匀分-|||-布 _(2)approx N(0,(2)^2), X3服从参数为3的泊松分布,求 ((X)_(1)-2(X)_(2)+3(X)_(3)) ((x)_(1)--|||-(x)_(2)+3({x)_(3)}

题目解答

答案

解析

考查要点：本题主要考查随机变量线性组合的期望与方差的计算，涉及均匀分布、正态分布、泊松分布的期望与方差公式，以及独立随机变量方差的性质。

解题核心思路：

  1. 分别计算各随机变量的期望与方差；
  2. 利用线性性质计算组合的期望：$E(aX + bY + cZ) = aE(X) + bE(Y) + cE(Z)$；
  3. 利用独立性计算组合的方差：$D(aX + bY + cZ) = a^2D(X) + b^2D(Y) + c^2D(Z)$。

破题关键点：

  • 均匀分布：$X_1 \sim U[0,6]$，期望为区间中点，方差为$\frac{(6-0)^2}{12}$；
  • 正态分布：$X_2 \sim N(0,2^2)$，期望为均值参数，方差为方差参数；
  • 泊松分布：$X_3 \sim P(3)$，期望与方差均为参数$3$；
  • 独立性：方差计算中无需考虑协方差。

1. 计算各随机变量的期望与方差

$X_1 \sim U[0,6]$

  • 期望：$E(X_1) = \frac{0 + 6}{2} = 3$；
  • 方差：$D(X_1) = \frac{(6 - 0)^2}{12} = 3$。

$X_2 \sim N(0,2^2)$

  • 期望：$E(X_2) = 0$；
  • 方差：$D(X_2) = 2^2 = 4$。

$X_3 \sim P(3)$

  • 期望：$E(X_3) = 3$；
  • 方差：$D(X_3) = 3$。

2. 计算线性组合的期望

$\begin{aligned}E(X_1 - 2X_2 + 3X_3) &= E(X_1) - 2E(X_2) + 3E(X_3) \\&= 3 - 2 \cdot 0 + 3 \cdot 3 \\&= 3 + 9 = 12.\end{aligned}$

3. 计算线性组合的方差

$\begin{aligned}D(X_1 - 2X_2 + 3X_3) &= D(X_1) + (-2)^2D(X_2) + 3^2D(X_3) \\&= 1^2 \cdot 3 + 4 \cdot 4 + 9 \cdot 3 \\&= 3 + 16 + 27 = 46.\end{aligned}$