题目
设_(1),(X)_(2),... (X)_(n)... .是独立同分布的随机变量序列，且具有相同数学期望和方差，_(1),(X)_(2),... (X)_(n)... .,则对于任意实数_(1),(X)_(2),... (X)_(n)... . , _(1),(X)_(2),... (X)_(n)... ._(1),(X)_(2),... (X)_(n)... ._(1),(X)_(2),... (X)_(n)... ._(1),(X)_(2),... (X)_(n)... ._(1),(X)_(2),... (X)_(n)... .
设
是独立同分布的随机变量序列，且具有相同数学期望和方差，
,则对于任意实数
, 
题目解答
答案
是独立同分布的随机变量序列，且具有相同数学期望和方差，
∴根据大量的独立且同步的随机变量的和近似服从正态分布这一性质，因此：
随机变量
∴
∴
即
∴根据标准正态分布函数的分布函数
的表达式
∴
因此本题答案为D
解析
步骤 1：确定随机变量序列的性质
题目中给出的随机变量序列${X}_{i}$是独立同分布的，且具有相同的数学期望$E({X}_{i})=\mu$和方差$D({X}_{i})={\sigma }^{2}$。这意味着每个随机变量${X}_{i}$都具有相同的分布，且相互之间是独立的。
步骤 2：应用中心极限定理
根据中心极限定理，当$n$足够大时，随机变量序列${X}_{i}$的和$\sum _{i=1}^{n}{X}_{i}$近似服从正态分布。具体来说，$\sum _{i=1}^{n}{X}_{i}$的均值为$n\mu$，方差为$n{\sigma }^{2}$。因此，$\sum _{i=1}^{n}{X}_{i}\sim N(n\mu ,n{\sigma }^{2})$。
步骤 3：标准化随机变量
为了将$\sum _{i=1}^{n}{X}_{i}$标准化，我们考虑随机变量$\dfrac {\sum _{i=1}^{n}{X}_{i}-n\mu }{\sqrt {n}\sigma }$。这个随机变量的均值为0，方差为1，因此它服从标准正态分布$N(0,1)$。即$\dfrac {\sum _{i=1}^{n}{X}_{i}-n\mu }{\sqrt {n}\sigma }\sim N(0,1)$。
步骤 4：计算极限概率
根据标准正态分布的性质，$\Phi (x)$表示标准正态分布的累积分布函数，即$\Phi (x)=P(Z\leqslant x)$，其中$Z\sim N(0,1)$。因此，$\lim _{n\rightarrow \infty }P\{ \dfrac {\sum _{i=1}^{n}{X}_{i}-n\mu }{\sqrt {n}\sigma }\leqslant x\} =\Phi (x)$。
题目中给出的随机变量序列${X}_{i}$是独立同分布的，且具有相同的数学期望$E({X}_{i})=\mu$和方差$D({X}_{i})={\sigma }^{2}$。这意味着每个随机变量${X}_{i}$都具有相同的分布，且相互之间是独立的。
步骤 2：应用中心极限定理
根据中心极限定理，当$n$足够大时，随机变量序列${X}_{i}$的和$\sum _{i=1}^{n}{X}_{i}$近似服从正态分布。具体来说，$\sum _{i=1}^{n}{X}_{i}$的均值为$n\mu$，方差为$n{\sigma }^{2}$。因此，$\sum _{i=1}^{n}{X}_{i}\sim N(n\mu ,n{\sigma }^{2})$。
步骤 3：标准化随机变量
为了将$\sum _{i=1}^{n}{X}_{i}$标准化，我们考虑随机变量$\dfrac {\sum _{i=1}^{n}{X}_{i}-n\mu }{\sqrt {n}\sigma }$。这个随机变量的均值为0，方差为1，因此它服从标准正态分布$N(0,1)$。即$\dfrac {\sum _{i=1}^{n}{X}_{i}-n\mu }{\sqrt {n}\sigma }\sim N(0,1)$。
步骤 4：计算极限概率
根据标准正态分布的性质，$\Phi (x)$表示标准正态分布的累积分布函数，即$\Phi (x)=P(Z\leqslant x)$，其中$Z\sim N(0,1)$。因此，$\lim _{n\rightarrow \infty }P\{ \dfrac {\sum _{i=1}^{n}{X}_{i}-n\mu }{\sqrt {n}\sigma }\leqslant x\} =\Phi (x)$。