题目

varphi (x)= 0.|x|geqslant dfrac {pi )(3)) varphi (-2), 并作出函数 =varphi (x) 的图形.

题目解答

答案

解析

考查要点：本题主要考查分段函数的函数值计算及函数图像的绘制能力。关键在于正确判断自变量所在的区间，并应用对应的表达式进行计算，同时理解绝对值函数对图像的影响。

解题思路：

  1. 判断自变量是否在区间$|x| < \dfrac{\pi}{3}$内：
    • 若满足，则计算$|\sin x|$；
    • 若不满足，则函数值为$0$。
  2. 绘制图像时，需注意：
    • 在区间$(-\dfrac{\pi}{3}, \dfrac{\pi}{3})$内，函数为$|\sin x|$，其图像是标准正弦曲线在该区间内的绝对值部分；
    • 区间外函数值恒为$0$，图像为$x$轴。

计算各点函数值

$\varphi\left(\dfrac{\pi}{6}\right)$

  1. 判断区间：$\dfrac{\pi}{6} \approx 0.523 < \dfrac{\pi}{3} \approx 1.047$，满足$|x| < \dfrac{\pi}{3}$。
  2. 计算绝对值：$\sin \dfrac{\pi}{6} = \dfrac{1}{2}$，故$\varphi\left(\dfrac{\pi}{6}\right) = \dfrac{1}{2}$。

$\varphi\left(\dfrac{\pi}{4}\right)$

  1. 判断区间：$\dfrac{\pi}{4} \approx 0.785 < \dfrac{\pi}{3}$，满足条件。
  2. 计算绝对值：$\sin \dfrac{\pi}{4} = \dfrac{\sqrt{2}}{2}$，故$\varphi\left(\dfrac{\pi}{4}\right) = \dfrac{\sqrt{2}}{2}$。

$\varphi\left(-\dfrac{\pi}{4}\right)$

  1. 判断区间：$\left|-\dfrac{\pi}{4}\right| = \dfrac{\pi}{4} < \dfrac{\pi}{3}$，满足条件。
  2. 计算绝对值：$\sin\left(-\dfrac{\pi}{4}\right) = -\dfrac{\sqrt{2}}{2}$，取绝对值得$\dfrac{\sqrt{2}}{2}$，故$\varphi\left(-\dfrac{\pi}{4}\right) = \dfrac{\sqrt{2}}{2}$。

$\varphi(-2)$

  1. 判断区间：$|-2| = 2 > \dfrac{\pi}{3}$，不满足条件。
  2. 直接取值：$\varphi(-2) = 0$。

绘制函数图像

  1. 区间$(-\dfrac{\pi}{3}, \dfrac{\pi}{3})$内：
    • 图像为$|\sin x|$，即标准正弦曲线在该区间内的绝对值部分。
    • 关键点：$x = 0$时，$\varphi(0) = 0$；$x = \pm\dfrac{\pi}{3}$时，$\varphi\left(\pm\dfrac{\pi}{3}\right) = \dfrac{\sqrt{3}}{2}$。
  2. 区间外：
    • 图像与$x$轴重合，函数值恒为$0$。