题目
设X_1, X_2, X_3是相互独立的随机变量，且E(X_i)=1, D(X_i)=8 (i=1,2,3)。 令overline(X)=(1)/(3)(X_1+X_2+X_3)，则估计P(|overline(X)-1|A. (5)/(6)B. (5)/(7)C. (5)/(8)D. 以上都不对
设$X_1, X_2, X_3$是相互独立的随机变量，且$E(X_i)=1, D(X_i)=8 (i=1,2,3)$。 令$\overline{X}=\frac{1}{3}(X_1+X_2+X_3)$，则估计$P(|\overline{X}-1|< 4)$≥()。
A. $\frac{5}{6}$
B. $\frac{5}{7}$
C. $\frac{5}{8}$
D. 以上都不对
题目解答
答案
A. $\frac{5}{6}$
解析
步骤 1：计算$\overline{X}$的期望和方差
由于$X_1, X_2, X_3$是相互独立的随机变量，且$E(X_i)=1, D(X_i)=8 (i=1,2,3)$，则$\overline{X}=\frac{1}{3}(X_1+X_2+X_3)$的期望和方差分别为：
$$ E(\overline{X}) = E\left(\frac{1}{3}(X_1+X_2+X_3)\right) = \frac{1}{3}(E(X_1)+E(X_2)+E(X_3)) = \frac{1}{3}(1+1+1) = 1 $$
$$ D(\overline{X}) = D\left(\frac{1}{3}(X_1+X_2+X_3)\right) = \frac{1}{9}(D(X_1)+D(X_2)+D(X_3)) = \frac{1}{9}(8+8+8) = \frac{8}{3} $$
步骤 2：利用切比雪夫不等式
切比雪夫不等式指出，对于任意随机变量$X$，其期望为$\mu$，方差为$\sigma^2$，则对于任意正数$k$，有：
$$ P(|X-\mu| \geq k\sigma) \leq \frac{1}{k^2} $$
将$\overline{X}$代入，得到：
$$ P(|\overline{X}-1| \geq 4) \leq \frac{D(\overline{X})}{4^2} = \frac{\frac{8}{3}}{16} = \frac{1}{6} $$
步骤 3：计算$P(|\overline{X}-1|< 4)$
根据步骤2的结果，可以得到：
$$ P(|\overline{X}-1| < 4) = 1 - P(|\overline{X}-1| \geq 4) \geq 1 - \frac{1}{6} = \frac{5}{6} $$
由于$X_1, X_2, X_3$是相互独立的随机变量，且$E(X_i)=1, D(X_i)=8 (i=1,2,3)$，则$\overline{X}=\frac{1}{3}(X_1+X_2+X_3)$的期望和方差分别为：
$$ E(\overline{X}) = E\left(\frac{1}{3}(X_1+X_2+X_3)\right) = \frac{1}{3}(E(X_1)+E(X_2)+E(X_3)) = \frac{1}{3}(1+1+1) = 1 $$
$$ D(\overline{X}) = D\left(\frac{1}{3}(X_1+X_2+X_3)\right) = \frac{1}{9}(D(X_1)+D(X_2)+D(X_3)) = \frac{1}{9}(8+8+8) = \frac{8}{3} $$
步骤 2：利用切比雪夫不等式
切比雪夫不等式指出，对于任意随机变量$X$，其期望为$\mu$，方差为$\sigma^2$，则对于任意正数$k$，有：
$$ P(|X-\mu| \geq k\sigma) \leq \frac{1}{k^2} $$
将$\overline{X}$代入，得到：
$$ P(|\overline{X}-1| \geq 4) \leq \frac{D(\overline{X})}{4^2} = \frac{\frac{8}{3}}{16} = \frac{1}{6} $$
步骤 3：计算$P(|\overline{X}-1|< 4)$
根据步骤2的结果，可以得到：
$$ P(|\overline{X}-1| < 4) = 1 - P(|\overline{X}-1| \geq 4) \geq 1 - \frac{1}{6} = \frac{5}{6} $$