题目
(1996,3)设A=}1&1&...&1a_(1)&a_(2)&...&a_(n)a_(1)^2&a_(2)^2&...&a_(n)^2vdots&vdots&...&vdotsa_(1)^n-1&a_(2)^n-1&...&a_(n)^n-1x=B的解是____.
(1996,3)设$A=\begin{bmatrix}1&1&\cdots&1\\a_{1}&a_{2}&\cdots&a_{n}\\a_{1}^{2}&a_{2}^{2}&\cdots&a_{n}^{2}\\\vdots&\vdots&\cdots&\vdots\\a_{1}^{n-1}&a_{2}^{n-1}&\cdots&a_{n}^{n-1}\end{bmatrix}$,$x=\begin{bmatrix}x_{1}\\x_{2}\\\vdots\\x_{n}\end{bmatrix}$,B=$\begin{bmatrix}1\\1\\\vdots\\1\end{bmatrix}$,其中$a_{i}\neq a_{j}(i\neq j,i,j=1,2,\cdots,n)$,则线性方程组$A^{T}x=B$的解是____.
题目解答
答案
将方程组 $A^T x = B$ 写为：
\[ \begin{bmatrix}
1 & a_1 & \cdots & a_1^{n-1} \\
1 & a_2 & \cdots & a_2^{n-1} \\
\vdots & \vdots & \cdots & \vdots \\
1 & a_n & \cdots & a_n^{n-1}
\end{bmatrix}
\begin{bmatrix}
x_1 \\
x_2 \\
\vdots \\
x_n
\end{bmatrix}
=
\begin{bmatrix}
1 \\
1 \\
\vdots \\
1
\end{bmatrix}. \]
定义多项式 $P(t) = x_1 + x_2 t + \cdots + x_n t^{n-1}$，则 $P(a_i) = 1$ 对于 $i = 1, 2, \ldots, n$。由于 $P(t)$ 次数至多为 $n-1$，且在 $n$ 个不同点取值为 1，故 $P(t) \equiv 1$。比较系数得：
\[ x_1 = 1, \quad x_2 = x_3 = \cdots = x_n = 0. \]
因此，解为 $\boxed{(1, 0, 0, \ldots, 0)}$。