题目

2.6 证明式(2.42)var(hat(beta)_(0))=[(1)/(n)+((overline(x))^2)/(sum(x_(i)-overline{x))^2}]sigma^2成立。

2.6 证明式(2.42)$var(\hat{\beta}_{0})=\left[\frac{1}{n}+\frac{(\overline{x})^{2}}{\sum(x_{i}-\overline{x})^{2}}\right]\sigma^{2}$成立。

题目解答

答案

设简单线性回归模型为 $Y_i = \beta_0 + \beta_1 x_i + \epsilon_i$，其中 $\epsilon_i$ 独立同分布，$E(\epsilon_i) = 0$，$Var(\epsilon_i) = \sigma^2$。最小二乘估计量为： \[ \hat{\beta}_1 = \frac{\sum (x_i - \bar{x})(Y_i - \bar{Y})}{\sum (x_i - \bar{x})^2}, \quad \hat{\beta}_0 = \bar{Y} - \hat{\beta}_1 \bar{x}. \] 计算 $\hat{\beta}_0$ 的方差： \[ Var(\hat{\beta}_0) = Var(\bar{Y} - \hat{\beta}_1 \bar{x}) = Var(\bar{Y}) + \bar{x}^2 Var(\hat{\beta}_1) - 2\bar{x} Cov(\bar{Y}, \hat{\beta}_1). \] 由于 $Var(\bar{Y}) = \frac{\sigma^2}{n}$，$Var(\hat{\beta}_1) = \frac{\sigma^2}{\sum (x_i - \bar{x})^2}$，且 $Cov(\bar{Y}, \hat{\beta}_1) = 0$，得： \[ Var(\hat{\beta}_0) = \frac{\sigma^2}{n} + \frac{\bar{x}^2 \sigma^2}{\sum (x_i - \bar{x})^2} = \left[ \frac{1}{n} + \frac{\bar{x}^2}{\sum (x_i - \bar{x})^2} \right] \sigma^2. \] **答案：** $\boxed{\left[ \frac{1}{n} + \frac{(\bar{x})^2}{\sum(x_i - \bar{x})^2} \right] \sigma^2}$

解析

本题考察简单线性回归中最小二乘估计量$\hat{\beta}_0$的方差证明，核心思路是利用$\hat{\beta}_0$与样本均值$\bar{Y}$、$\hat{\beta}_1$的关系，通过方差和协方差的性质推导得出结果，具体步骤如下：

步骤1：模型与估计量公式

简单线性回归模型为$Y_i = \beta_0 + \beta_1 x_i + \epsilon_i$，其中$\epsilon_i$独立同分布，$E(\epsilon_i)=0$，$Var(\epsilon_i)=\sigma^2$。
最小二乘估计量定义为：
$\hat{\beta}_1 = \frac{\sum (x_i - \bar{x})(Y_i - \bar{Y})}{\sum (x_i - \bar{x})^2}, \quad \hat{\beta}_0 = \bar{Y} - \hat{\beta}_1 \bar{x}$
其中$\bar{x} = \frac{1}{n}\sum x_i$，$\bar{Y} = \frac{1}{n}\sum Y_i$。

步骤2：分解$\hat{\beta}_0$的方差

根据方差性质，对$\hat{\beta}_0 = \bar{Y} - \hat{\beta}_1 \bar{x}$求方差：
$Var(\hat{\beta}_0) = Var(\bar{Y} - \hat{\beta}_1 \bar{x}) = Var(\bar{Y}) + \bar{x}^2 Var(\hat{\beta}_1) - 2\bar{x} Cov(\bar{Y}, \hat{\beta}_1)$

步骤3：计算各方差与协方差

$Var(\bar{Y})$：
$\bar{Y} = \frac{1}{n}\sum Y_i$，$Y_i$独立，故：
$Var(\bar{Y}) = \frac{1}{n^2}\sum Var(Y_i) = \frac{1}{n^2}\sum \sigma^2 = \frac{\sigma^2}{n}$
$Var(\hat{\beta}_1)$：
已知$\hat{\beta}_1$的方差公式为：
$Var(\hat{\beta}_1) = \frac{\sigma^2}{\sum (x_i - \bar{x})^2}$
$Cov(\bar{Y}, \hat{\beta}_1)$：
通过代数推导可证$\bar{Y}$与$\hat{\beta}_1$的协方差为0（关键：$\sum (x_i - \bar{x}) = 0$导致交叉项消失）。

步骤4：合并结果

代入方差与协方差的值：
$Var(\hat{\beta}_0) = \frac{\sigma^2}{n} + \bar{x}^2 \cdot \frac{\sigma^2}{\sum (x_i - \bar{x})^2} = \left[ \frac{1}{n} + \frac{\bar{x}^2}{\sum (x_i - \bar{x})^2} \right] \sigma^2$