三、用分块法求矩阵A=(}2&0&0&00&1&4&00&0&-1&00&0&0&9.

为了求矩阵 $ A = \begin{pmatrix} 2 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 4 & 0 \\ 0 & 0 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 9 \end{pmatrix} $ 的逆矩阵 $ A^{-1} $，我们可以使用分块法。矩阵 $ A $ 可以被分块为一个对角矩阵，其中每个对角块都是一个较小的矩阵。具体来说，我们可以将 $ A $ 写为： \[ A = \begin{pmatrix} A_{11} & 0 & 0 & 0 \\ 0 & A_{22} & 0 & 0 \\ 0 & 0 & A_{33} & 0 \\ 0 & 0 & 0 & A_{44} \end{pmatrix} \] 其中 $ A_{11} = 2 $， $ A_{22} = \begin{pmatrix} 1 & 4 \\ 0 & -1 \end{pmatrix} $， $ A_{33} = -1 $， $ A_{44} = 9 $。 一个对角分块矩阵的逆矩阵等于每个对角块的逆矩阵构成的对角分块矩阵。因此， $ A^{-1} $ 可以写为： \[ A^{-1} = \begin{pmatrix} A_{11}^{-1} & 0 & 0 & 0 \\ 0 & A_{22}^{-1} & 0 & 0 \\ 0 & 0 & A_{33}^{-1} & 0 \\ 0 & 0 & 0 & A_{44}^{-1} \end{pmatrix} \] 现在，我们需要求每个对角块的逆矩阵。 1. $ A_{11} = 2 $ 的逆矩阵是 $ A_{11}^{-1} = \frac{1}{2} $。 2. $ A_{33} = -1 $ 的逆矩阵是 $ A_{33}^{-1} = -1 $。 3. $ A_{44} = 9 $ 的逆矩阵是 $ A_{44}^{-1} = \frac{1}{9} $。 接下来，我们需要求 $ A_{22} = \begin{pmatrix} 1 & 4 \\ 0 & -1 \end{pmatrix} $ 的逆矩阵。一个 $ 2 \times 2 $ 矩阵 $ \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix} $ 的逆矩阵是 $ \frac{1}{ad - bc} \begin{pmatrix} d & -b \\ -c & a \end{pmatrix} $。对于 $ A_{22} $，我们有 $ a = 1 $， $ b = 4 $， $ c = 0 $， $ d = -1 $。因此， $ A_{22} $ 的行列式是 $ ad - bc = 1 \cdot (-1) - 4 \cdot 0 = -1 $。所以， $ A_{22}^{-1} $ 是： \[ A_{22}^{-1} = \frac{1}{-1} \begin{pmatrix} -1 & -4 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 4 \\ 0 & -1 \end{pmatrix} \] 现在，我们可以将所有对角块的逆矩阵组合起来得到 $ A^{-1} $： \[ A^{-1} = \begin{pmatrix} \frac{1}{2} & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 4 & 0 \\ 0 & 0 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & \frac{1}{9} \end{pmatrix} \] 因此，矩阵 $ A $ 的逆矩阵是： \[ \boxed{\begin{pmatrix} \frac{1}{2} & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 4 & 0 \\ 0 & 0 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & \frac{1}{9} \end{pmatrix}} \]