【单选题】一个样本中各观察值均加(或减)同一数后() 。A. 算术平均数不变，标准差改变B. 算术平均数改变，标准差不变C. 两者均改变D. 两者均不改变

考查要点：本题主要考查数据线性变换对平均数和标准差的影响。
解题核心：

• 平均数是位置的度量，当所有数据加上同一常数时，平均数会同步变化。
• 标准差是离散程度的度量，数据整体平移不会改变数据间的相对距离，因此标准差保持不变。
  关键结论：数据加减同一常数，平均数改变，标准差不变。

设原始数据为 $x_1, x_2, \dots, x_n$，每个数据加上常数 $a$ 后得到新数据 $x_1+a, x_2+a, \dots, x_n+a$。

平均数的变化

原平均数为 $\bar{x} = \frac{1}{n}\sum x_i$，新平均数为：
$\bar{x}_{\text{新}} = \frac{1}{n}\sum (x_i + a) = \frac{1}{n}\sum x_i + \frac{1}{n}\sum a = \bar{x} + a$
结论：平均数增加 $a$，即平均数改变。

标准差的变化

标准差公式为 $\sigma = \sqrt{\frac{1}{n}\sum (x_i - \bar{x})^2}$。
新数据与新平均数的差为：
$(x_i + a) - (\bar{x} + a) = x_i - \bar{x}$
因此，标准差不变。