设总体 X 服从参数为 (alpha, lambda) 的伽马分布 Gamma(alpha, lambda)，即具有概率密度 [ f(x)= } (lambda^alpha)/(Gamma(alpha)) x^alpha-1 e^-lambda x, & x > 0 0, & x leq 0 ^n X_i 服从分布()。A. Gamma(nalpha, nlambda)B. Gamma(alpha, nlambda)C. N(0, 1)D. Gamma(nalpha, lambda)

本题考查伽马分布的可加性这一知识点。解题思路思路是根据伽马分布的定义和性质，通过矩母函数的方法来证明多个独立同分布的伽马随机变量之和的分布。

步骤一：明确伽马分布的矩母函数

若随机变量 $X服从参数为\((\alpha, \lambda)$的伽马分布$\Gamma(\alpha, \lambda)$，其矩母函数为$M_X(t)=(1 - \frac{t}{\lambda})^{-\alpha}$，其中$t<\lambda$。

步骤二：求$Y = \sum_{i = 1}^{n}X_i$的矩母函数

因为$(X_1, X_2, \cdots, X_n$是来自总体$X$的样本，所以$X_1, X_2, \cdots, X_n$相互独立且都服从参数为$(\alpha, \lambda)$的伽马分布$\Gamma(\alpha, \lambda)$。
根据独立随机变量和的矩母函数等于各随机变量矩母函数的乘积，可得$Y = \sum_{i = 1}^{n}X_i$的矩母函数$M_Y(t)$为：
$M_Y(t)=E(e^{tY}) = E(e^{t\sum_{i = 1}^{n}X_i})=\prod_{i = 1}^{n}E(e^{tX_i})=\_{i = 1}^{n}M_{X_i}(t)$。
由于$X_1, X_2, \cdots, X_n$同分布，所以$M_{X_i}(t) = M_X(t)=(1 - \frac{t}{\lambda})^{-\alpha}$，$i = 1,2,\cdots,n$。
则$M_Y(t)=\_{i = 1}^{n}(1 - \frac{t}{\lambda})^{-\alpha}=[(1 - \frac{t}{\lambda})^{-\alpha}]^n=(1 - \frac{t}{\lambda})^{-n\alpha}$，其中$t<\lambda$。### 步骤三：根据矩母函数确定$Y$的分布
由矩母函数的唯一性可知，若两个随机变量的矩母函数相同，则它们具有相同的分布。
因为$M_Y(t)=(1 - \frac{t}{\}{\lambda})^{-\alpha}$是参数为$(n\alpha, \lambda)$的伽马分布的矩母函数，所以$Y = \sum_{i = 1}^{n}X_i$服从参数为$(n\alpha, \lambda)$的伽马分布$\Gamma(n\alpha, \lambda)$。