题目
(江西卷)若 _(1)=(int )_(1)^2(x)^2dx _(2)=(int )_(1)^2dfrac (1)(x)dx _(3)=(int )_(1)^2(e)^xdx, 则S1,S2,S3的大小关系为 ()-|||-A. _(1)lt (S)_(2)lt (S)_(3) B. _(2)lt (S)_(1)lt (S)_(3) C. _(2)lt (S)_(3)lt (S)_(1) D. _(3)lt (S)_(2)lt (S)_(1)
题目解答
答案
解析
步骤 1：计算 ${S}_{1}$
${S}_{1}={\int }_{1}^{2}{x}^{2}dx$ 可以通过求原函数来计算。原函数为 $\frac{1}{3}x^3$，因此：
${S}_{1}=\frac{1}{3}x^3{\int }_{1}^{2}=\frac{1}{3}(2^3-1^3)=\frac{1}{3}(8-1)=\frac{7}{3}$
步骤 2：计算 ${S}_{2}$
${S}_{2}={\int }_{1}^{2}\dfrac {1}{x}dx$ 可以通过求原函数来计算。原函数为 $\ln|x|$，因此：
${S}_{2}=\ln|x|{\int }_{1}^{2}=\ln2-\ln1=\ln2$
步骤 3：计算 ${S}_{3}$
${S}_{3}={\int }_{1}^{2}{e}^{x}dx$ 可以通过求原函数来计算。原函数为 $e^x$，因此：
${S}_{3}=e^x{\int }_{1}^{2}=e^2-e^1=e^2-e$
步骤 4：比较 ${S}_{1}$, ${S}_{2}$, ${S}_{3}$
根据计算结果，我们有：
${S}_{1}=\frac{7}{3}\approx 2.33$
${S}_{2}=\ln2\approx 0.69$
${S}_{3}=e^2-e\approx 4.67$
因此，${S}_{2}\lt {S}_{1}\lt {S}_{3}$
${S}_{1}={\int }_{1}^{2}{x}^{2}dx$ 可以通过求原函数来计算。原函数为 $\frac{1}{3}x^3$，因此：
${S}_{1}=\frac{1}{3}x^3{\int }_{1}^{2}=\frac{1}{3}(2^3-1^3)=\frac{1}{3}(8-1)=\frac{7}{3}$
步骤 2：计算 ${S}_{2}$
${S}_{2}={\int }_{1}^{2}\dfrac {1}{x}dx$ 可以通过求原函数来计算。原函数为 $\ln|x|$，因此：
${S}_{2}=\ln|x|{\int }_{1}^{2}=\ln2-\ln1=\ln2$
步骤 3：计算 ${S}_{3}$
${S}_{3}={\int }_{1}^{2}{e}^{x}dx$ 可以通过求原函数来计算。原函数为 $e^x$，因此：
${S}_{3}=e^x{\int }_{1}^{2}=e^2-e^1=e^2-e$
步骤 4：比较 ${S}_{1}$, ${S}_{2}$, ${S}_{3}$
根据计算结果，我们有：
${S}_{1}=\frac{7}{3}\approx 2.33$
${S}_{2}=\ln2\approx 0.69$
${S}_{3}=e^2-e\approx 4.67$
因此，${S}_{2}\lt {S}_{1}\lt {S}_{3}$