题目
一、判断题（共4题，16.0分）3.（判断题，4.0分）若A为列满秩矩阵，则r(AB)=r(B).A 对B 错
一、判断题（共4题，16.0分）
3.（判断题，4.0分）
若A为列满秩矩阵，则r(AB)=r(B).
A 对
B 错
题目解答
答案
**答案：A（对）**
**解析：**
设 $ A $ 为 $ m \times n $ 列满秩矩阵，即 $ r(A) = n $。对任意 $ n \times p $ 矩阵 $ B $，需证 $ r(AB) = r(B) $。
1. **列满秩性质**：$ A $ 的列向量线性无关，乘以 $ B $ 后，$ AB $ 的列向量是 $ A $ 列向量的线性组合，但组合方式由 $ B $ 决定。
2. **秩的关系**：由于 $ A $ 列满秩，乘以 $ B $ 不会改变列向量的线性相关性，即 $ AB $ 的列空间维数等于 $ B $ 的列空间维数。
3. **结论**：由秩的定义，$ r(AB) = r(B) $。
因此，原命题成立，答案为 $\boxed{A}$。
解析
步骤 1：列满秩矩阵的定义
列满秩矩阵 $A$ 是指矩阵 $A$ 的列向量组线性无关，即矩阵 $A$ 的秩等于其列数。设 $A$ 为 $m \times n$ 矩阵，且 $r(A) = n$。
步骤 2：矩阵乘法的秩
考虑矩阵乘法 $AB$，其中 $B$ 是 $n \times p$ 矩阵。矩阵 $AB$ 的列向量是矩阵 $A$ 的列向量的线性组合，组合系数由矩阵 $B$ 的列向量给出。由于 $A$ 的列向量组线性无关，$AB$ 的列向量组的线性相关性完全由 $B$ 的列向量组的线性相关性决定。
步骤 3：秩的等价性
由于 $A$ 的列向量组线性无关，$AB$ 的列空间维数等于 $B$ 的列空间维数。因此，$r(AB) = r(B)$。
列满秩矩阵 $A$ 是指矩阵 $A$ 的列向量组线性无关，即矩阵 $A$ 的秩等于其列数。设 $A$ 为 $m \times n$ 矩阵，且 $r(A) = n$。
步骤 2：矩阵乘法的秩
考虑矩阵乘法 $AB$，其中 $B$ 是 $n \times p$ 矩阵。矩阵 $AB$ 的列向量是矩阵 $A$ 的列向量的线性组合，组合系数由矩阵 $B$ 的列向量给出。由于 $A$ 的列向量组线性无关，$AB$ 的列向量组的线性相关性完全由 $B$ 的列向量组的线性相关性决定。
步骤 3：秩的等价性
由于 $A$ 的列向量组线性无关，$AB$ 的列空间维数等于 $B$ 的列空间维数。因此，$r(AB) = r(B)$。