5.设随机变量 sim N(0,1), 令 =(X)^2, 证明X与Y不相关.

步骤 1：定义相关系数
两个随机变量 $X$ 和 $Y$ 的相关系数 $\rho(X,Y)$ 定义为：
$$
\rho(X,Y) = \frac{Cov(X,Y)}{\sqrt{Var(X)Var(Y)}}
$$
其中，$Cov(X,Y)$ 是 $X$ 和 $Y$ 的协方差，$Var(X)$ 和 $Var(Y)$ 分别是 $X$ 和 $Y$ 的方差。

步骤 2：计算协方差
协方差 $Cov(X,Y)$ 定义为：
$$
Cov(X,Y) = E[(X - E[X])(Y - E[Y])]
$$
对于 $X \sim N(0,1)$，有 $E[X] = 0$，$E[Y] = E[X^2] = 1$（因为 $X$ 的方差为1，且 $E[X^2] = Var(X) + (E[X])^2 = 1 + 0 = 1$）。
因此，
$$
Cov(X,Y) = E[(X - 0)(Y - 1)] = E[X(Y - 1)] = E[X(X^2 - 1)] = E[X^3 - X]
$$
由于 $X$ 是标准正态分布，$X^3$ 的期望值为0（因为 $X^3$ 是奇函数，其在对称区间上的积分结果为0），所以：
$$
Cov(X,Y) = E[X^3 - X] = E[X^3] - E[X] = 0 - 0 = 0
$$

步骤 3：计算相关系数
由于 $Cov(X,Y) = 0$，所以：
$$
\rho(X,Y) = \frac{Cov(X,Y)}{\sqrt{Var(X)Var(Y)}} = \frac{0}{\sqrt{Var(X)Var(Y)}} = 0
$$
因此，$X$ 与 $Y$ 不相关。