题目
6.设x1,x2,x3服从均匀分布U(0,θ),试证 dfrac (4)(3)x(3) 及4x(1)都是θ的无偏估计,哪个更有效?
题目解答
答案
解析
步骤 1：确定分布的性质
给定 $x_1, x_2, x_3$ 服从均匀分布 $U(0, \theta)$，这意味着每个 $x_i$ 的概率密度函数为 $f(x) = \frac{1}{\theta}$，对于 $0 \leq x \leq \theta$。
步骤 2：计算 $x(3)$ 的期望值
$x(3)$ 是 $x_1, x_2, x_3$ 中的最大值。对于均匀分布 $U(0, \theta)$，最大值的期望值为 $\frac{3\theta}{4}$。因此，$E[x(3)] = \frac{3\theta}{4}$。
步骤 3：计算 $\frac{4}{3}x(3)$ 的期望值
根据步骤 2，$E[x(3)] = \frac{3\theta}{4}$，因此 $E[\frac{4}{3}x(3)] = \frac{4}{3}E[x(3)] = \frac{4}{3} \cdot \frac{3\theta}{4} = \theta$。这表明 $\frac{4}{3}x(3)$ 是 $\theta$ 的无偏估计。
步骤 4：计算 $x(1)$ 的期望值
$x(1)$ 是 $x_1, x_2, x_3$ 中的最小值。对于均匀分布 $U(0, \theta)$，最小值的期望值为 $\frac{\theta}{4}$。因此，$E[x(1)] = \frac{\theta}{4}$。
步骤 5：计算 $4x(1)$ 的期望值
根据步骤 4，$E[x(1)] = \frac{\theta}{4}$，因此 $E[4x(1)] = 4E[x(1)] = 4 \cdot \frac{\theta}{4} = \theta$。这表明 $4x(1)$ 也是 $\theta$ 的无偏估计。
步骤 6：比较 $\frac{4}{3}x(3)$ 和 $4x(1)$ 的方差
为了确定哪个估计更有效，我们需要比较它们的方差。对于均匀分布 $U(0, \theta)$，最大值 $x(3)$ 的方差为 $\frac{\theta^2}{20}$，最小值 $x(1)$ 的方差为 $\frac{\theta^2}{20}$。因此，$Var(\frac{4}{3}x(3)) = (\frac{4}{3})^2 \cdot \frac{\theta^2}{20} = \frac{16\theta^2}{90} = \frac{8\theta^2}{45}$，$Var(4x(1)) = 4^2 \cdot \frac{\theta^2}{20} = \frac{16\theta^2}{20} = \frac{4\theta^2}{5}$。由于 $\frac{8\theta^2}{45} < \frac{4\theta^2}{5}$，$\frac{4}{3}x(3)$ 的方差更小，因此更有效。
给定 $x_1, x_2, x_3$ 服从均匀分布 $U(0, \theta)$，这意味着每个 $x_i$ 的概率密度函数为 $f(x) = \frac{1}{\theta}$，对于 $0 \leq x \leq \theta$。
步骤 2：计算 $x(3)$ 的期望值
$x(3)$ 是 $x_1, x_2, x_3$ 中的最大值。对于均匀分布 $U(0, \theta)$，最大值的期望值为 $\frac{3\theta}{4}$。因此，$E[x(3)] = \frac{3\theta}{4}$。
步骤 3：计算 $\frac{4}{3}x(3)$ 的期望值
根据步骤 2，$E[x(3)] = \frac{3\theta}{4}$，因此 $E[\frac{4}{3}x(3)] = \frac{4}{3}E[x(3)] = \frac{4}{3} \cdot \frac{3\theta}{4} = \theta$。这表明 $\frac{4}{3}x(3)$ 是 $\theta$ 的无偏估计。
步骤 4：计算 $x(1)$ 的期望值
$x(1)$ 是 $x_1, x_2, x_3$ 中的最小值。对于均匀分布 $U(0, \theta)$，最小值的期望值为 $\frac{\theta}{4}$。因此，$E[x(1)] = \frac{\theta}{4}$。
步骤 5：计算 $4x(1)$ 的期望值
根据步骤 4，$E[x(1)] = \frac{\theta}{4}$，因此 $E[4x(1)] = 4E[x(1)] = 4 \cdot \frac{\theta}{4} = \theta$。这表明 $4x(1)$ 也是 $\theta$ 的无偏估计。
步骤 6：比较 $\frac{4}{3}x(3)$ 和 $4x(1)$ 的方差
为了确定哪个估计更有效，我们需要比较它们的方差。对于均匀分布 $U(0, \theta)$，最大值 $x(3)$ 的方差为 $\frac{\theta^2}{20}$，最小值 $x(1)$ 的方差为 $\frac{\theta^2}{20}$。因此，$Var(\frac{4}{3}x(3)) = (\frac{4}{3})^2 \cdot \frac{\theta^2}{20} = \frac{16\theta^2}{90} = \frac{8\theta^2}{45}$，$Var(4x(1)) = 4^2 \cdot \frac{\theta^2}{20} = \frac{16\theta^2}{20} = \frac{4\theta^2}{5}$。由于 $\frac{8\theta^2}{45} < \frac{4\theta^2}{5}$，$\frac{4}{3}x(3)$ 的方差更小，因此更有效。