题目
设X_(1),X_(2),...,X_(n)相互独立，且都服从标准正态分布N(0,1)，则sum_(i=1)^nX_(i)^2simchi^2(n-1).A. 对B. 错
设$X_{1},X_{2},\cdots,X_{n}$相互独立，且都服从标准正态分布N(0,1)，则$\sum_{i=1}^{n}X_{i}^{2}\sim\chi^{2}(n-1)$.
A. 对
B. 错
题目解答
答案
B. 错
解析
步骤 1：理解标准正态分布和卡方分布
- 如果 $X_i \sim N(0,1)$，那么 $X_i^2 \sim \chi^2(1)$。这是因为标准正态分布随机变量的平方遵循自由度为1的卡方分布。
- 如果 $X_1, X_2, \ldots, X_n$ 是独立的标准正态分布随机变量，那么它们的平方和 $\sum_{i=1}^{n} X_i^2$ 遵循自由度为 $n$ 的卡方分布。这是卡方分布的一个基本性质。
步骤 2：分析题目中的自由度
- 题目中，$\sum_{i=1}^{n} X_i^2$ 被声称遵循自由度为 $n-1$ 的卡方分布。然而，根据卡方分布的性质，如果 $X_1, X_2, \ldots, X_n$ 是独立的标准正态分布随机变量，它们的平方和应该遵循自由度为 $n$ 的卡方分布，而不是 $n-1$。
步骤 3：得出结论
- 因此，题目中的陈述是不正确的。正确的分布是 $\sum_{i=1}^{n} X_i^2 \sim \chi^2(n)$。
- 如果 $X_i \sim N(0,1)$，那么 $X_i^2 \sim \chi^2(1)$。这是因为标准正态分布随机变量的平方遵循自由度为1的卡方分布。
- 如果 $X_1, X_2, \ldots, X_n$ 是独立的标准正态分布随机变量，那么它们的平方和 $\sum_{i=1}^{n} X_i^2$ 遵循自由度为 $n$ 的卡方分布。这是卡方分布的一个基本性质。
步骤 2：分析题目中的自由度
- 题目中，$\sum_{i=1}^{n} X_i^2$ 被声称遵循自由度为 $n-1$ 的卡方分布。然而，根据卡方分布的性质，如果 $X_1, X_2, \ldots, X_n$ 是独立的标准正态分布随机变量，它们的平方和应该遵循自由度为 $n$ 的卡方分布，而不是 $n-1$。
步骤 3：得出结论
- 因此，题目中的陈述是不正确的。正确的分布是 $\sum_{i=1}^{n} X_i^2 \sim \chi^2(n)$。