设随机变量 X sim U(0,1)，试求以下随机变量 Y 的概率密度：(1) Y_1 = 1 - X；(2) Y_2 = e^X；(3) Y_3 = -2ln X；(4) Y_4 = (pi)/(4) X^2。

本题主要考查随机变量函数的概率密度求解，解题思路是先求出随机变量$X$的概率密度函数，再通过分布函数法求出$Y$的分布函数，最后对$Y$的分布函数求导得到$Y$的概率密度函数。

已知随机变量$X \sim U(0,1)$，则$X$的概率密度函数为：
$f_X(x) = \begin{cases} 1, & 0 \lt x \lt 1, \\ 0, & \text{其他}. \end{cases}$

(1) 求$Y_1 = 1 - X$的概率密度

• 步骤一：求$Y_1$的分布函数$F_{Y_1}(y)$
  $F_{Y_1}(y) = P(Y_1 \leq y) = P(1 - X \leq y) = P(X \geq 1 - y)$
  $= 1 - P(X \lt 1 - y)$
  当$1 - y \leq 0$，即$y \geq 1$时，$P(X \lt 1 - y) = 0$，所以$F_{Y_1}(y) = 1$；
  当$1 - y \geq 1$，即$y \leq 0$时，$P(X \lt 1 - y) = 1$，所以$F_{Y_1}(y) = 0$；
  当$0 \lt 1 - y \lt 1$，即$0 \lt y \lt 1$时，$F_{Y_1}(y) = 1 - (1 - y) = y$。
  因此，$F_{Y_1}(y) = \begin{cases} 0, & y \leq 0, \\ y, & 0 \lt y \lt 1, \\ 1, & y \geq 1. \end{cases}$
• 步骤二：对$F_{Y_1}(y)$求导得到$Y_1$的概率密度函数$f_{Y_1}(y)$
  $f_{Y_1}(y) = F_{Y_1}'(y) = \begin{cases} 1, & 0 \lt y \lt 1, \\ 0, & \text{其他}. \end{cases}$

(2) 求$Y_2 = e^X$的概率密度

• 步骤一：求$Y_2$的分布函数$F_{Y_2}(y)$
  $F_{Y_2}(y) = P(Y_2 \leq y) = P(e^X \leq y) = P(X \leq \ln y)$
  当$\ln y \leq 0$，即$y \leq 1$时，$P(X \leq \ln y) = 0$，所以$F_{Y_2}(y) = 0$；
  当$\ln y \geq 1$，即$y \geq e$时，$P(X \leq \ln y) = 1$，所以$F_{Y_2}(y) = 1$；
  当$0 \lt \ln y \lt 1$，即$1 \lt y \lt e$时，$F_{Y_2}(y) = \ln y$。
  因此，$F_{Y_2}(y) = \begin{cases} 0, & y \leq 1, \\ \ln y, & 1 \lt y \lt e, \\ 1, & y \geq e. \end{cases}$
• 步骤二：对$F_{Y_2}(y)$求导得到$Y_2$的概率密度函数$f_{Y_2}(y)$
  $f_{Y_2}(y) = F_{Y_2}'(y) = \begin{cases} \frac{1}{y}, & 1 \lt y \lt e, \\ 0, & \text{其他}. \end{cases}$

(3) 求$Y_3 = -2\ln X$的概率密度

• 步骤一：求$Y_3$的分布函数$F_{Y_3}(y)$
  $F_{Y_3}(y) = P(Y_3 \leq y) = P(-2\ln X \leq y) = P(\ln X \geq -\frac{y}{2}) = P(X \geq e^{-\frac{y}{2}})$
  $= 1 - P(X \lt e^{-\frac{y}{2}})$
  当$e^{-\frac{y}{2}} \leq 0$，即$y$无解时，$P(X \lt e^{-\frac{y}{2}}) = 0$，所以$F_{Y_3}(y) = 1$；
  当$e^{-\frac{y}{2}} \geq 1$，即$y \leq 0$时，$P(X \lt e^{-\frac{y}{2}}) = 0$，所以$F_{Y_3}(y) = 1$；
  当$0 \lt e^{-\frac{y}{2}} \lt 1$，即$y \gt 0$时，$F_{Y_3}(y) = 1 - e^{-\frac{y}{2}}$。
  因此，$F_{Y_3}(y) = \begin{cases} 0, & y \leq 0, \\ 1 - e^{-\frac{y}{2}}, & y \gt 0. \end{cases}$
• 步骤二：对$F_{Y_3}(y)$求导得到$Y_3$的概率密度函数$f_{Y_3}(y)$
  $f_{Y_3}(y) = F_{Y_3}'(y) = \begin{cases} \frac{1}{2}e^{-\frac{y}{2}}, & y \gt 0, \\ 0, & \text{其他}. \end{cases}$

(4) 求$Y_4 = \frac{\pi}{4}X^2$的概率密度

• 步骤一：求$Y_4$的分布函数$F_{Y_4}(y)$
  $F_{Y_4}(y) = P(Y_4 \leq y) = P(\frac{\pi}{4}X^2 \leq y) = P(X^2 \leq \frac{4y}{\pi}) = P(X \leq \sqrt{\frac{4y}{\pi}})$
  当$\sqrt{\frac{4y}{\pi}} \leq 0$，即$y \leq 0$时，$P(X \leq \sqrt{\frac{4y}{\pi}}) = 0$，所以$F_{Y_4}(y) = 0$；
  当$\sqrt{\frac{4y}{\pi}} \geq 1$，即$y \geq \frac{\pi}{4}$时，$P(X \leq \sqrt{\frac{4y}{\pi}}) = 1$，所以$F_{Y_4}(y) = 1$；
  当$0 \lt \sqrt{\frac{4y}{\pi}} \lt 1$，即$0 \lt y \lt \frac{\pi}{4}$时，$F_{Y_4}(y) = \sqrt{\frac{4y}{\pi}}$。
  因此，$F_{Y_4}(y) = \begin{cases} 0, & y \leq 0, \\ \sqrt{\frac{4y}{\pi}}, & 0 \lt y \lt \frac{\pi}{4}, \\ 1, & y \geq \frac{\pi}{4}. \end{cases}$
• 步骤二：对$F_{Y_4}(y)$求导得到$Y_4$的概率密度函数$f_{Y_4}(y)$
  $f_{Y_4}(y) = F_{Y_4}'(y) = \begin{cases} \frac{1}{\sqrt{\pi y}}, & 0 \lt y \lt \frac{\pi}{4}, \\ 0, & \text{其他}. \end{cases}$