n 阶行列式 D = } a_(11) & a_(12) & ... & a_(1n) a_(21) & a_(22) & ... & a_(2n) vdots & vdots & ddots & vdots a_(n1) & a_(n2) & ... & a_(nn) 的任意一行（列）的各元素与另一行（列）对应元素的代数余子式乘积的和等于 ______.
$n$ 阶行列式 $D = \begin{vmatrix} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{n1} & a_{n2} & \cdots & a_{nn} \end{vmatrix}$ 的任意一行（列）的各元素与另一行（列）对应元素的代数余子式乘积的和等于 ______.
题目解答
答案
对于 $n$ 阶行列式 $D = |a_{ij}|$，任意一行（或列）的元素与另一行（或列）对应元素的代数余子式乘积的和等于 $0$。
具体来说，对于第 $i$ 行和第 $k$ 行（$i \neq k$），有：
$\sum_{j=1}^n a_{ij} A_{kj} = 0$
其中 $A_{kj}$ 为第 $k$ 行第 $j$ 列的代数余子式。
此结论同样适用于列的情况。
答案：
$\boxed{0}$
解析
本题考查行列式按行（列）展开定理的相关知识。解题的关键在于理解行列式按行（列）展开定理的内容，并通过构造一个新的行列式来推导任意一行（列）的各元素与另一行（列）对应元素的代数余子式乘积的和的结果。
设$n$阶行列式$D = \begin{vmatrix} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{n1} & a_{n2} & \cdots & a_{nn} \end{vmatrix}$，$A_{ij}$是元素$a_{ij}$的代数余子式。
考虑一个新的行列式$D_1$，它与$D$的区别仅在于第$k$行元素变为第$i$行元素（$i\neq k$），即$D_1 = \begin{vmatrix} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{i1} & a_{i2} & \cdots & a_{in} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{i1} & a_{i2} & \cdots & a_{in} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{n1} & a_{n2} & \cdots & a_{nn} \end{vmatrix}$。
根据行列式的性质，若一个行列式中有两行元素完全相同，则该行列式的值为$0$，所以$D_1 = 0$。
再根据行列式按行展开定理，将$D_1$按第$k$行展开，可得$D_1=\sum_{j = 1}^{n}a_{ij}A_{kj}$（其中$A_{kj}$是$D$中第$k$行第$j$列元素的代数余子式）。
因为$D_1 = 0$，所以$\sum_{j = 1}^{n}a_{ij}A_{kj}=0$（$i\neq k$），这就表明$n$阶行列式$D$的任意一行的各元素与另一行对应元素的代数余子式乘积的和等于$0$。
同理，对于列的情况，设$D_2$是与$D$的区别仅在于第$k$列元素变为第$i$列元素（$i\neq k$）的行列式，$D_2 = 0$。将$D_2$按第$k$列展开，可得$D_2=\sum_{i = 1}^{n}a_{ij}A_{ik}=0$（$j\neq k$），即$n$阶行列式$D$的任意一列的各元素与另一列对应元素的代数余子式乘积的和等于$0$。