设一批零件的长度服从正态分布N(mu ,sigma ^2)，其中mu ，sigma ^2均未知.现从中随机抽取16个零件，测得样本均值overline(dot{x)}=20(cm)，样本标准差s=1(cm)，则mu 的置信度为0.90的置信区间是( )A. (20-dfrac(1)(4)t_(0.05)(16),20+dfrac(1)(4)t_(0.05)(16))B. (20-dfrac(1)(4)t_(0.1)(16),20+dfrac(1)(4)t_(0.1)(16))C. (20-dfrac(1)(4)t_(0.05)(15),20+dfrac(1)(4)t_(0.05)(15))D. (20-dfrac(1)(4)t_(0.1)(15),20+dfrac(1)(4)t_(0.1)(15))

本题考查正态总体均值在方差未知时的置信区间的求解，解题的关键在于利用正态总体抽样分布的性质，找到合适的统计量，再根据置信度确定相应的分位数，进而得出置信区间。

1. 确定统计量及其分布：
   • 已知一批零件的长度服从正态分布$N(\mu,\sigma^{2})$，其中$\mu$，$\sigma^{2}$均未知，从中随机抽取$n = 16$个零件，样本均值为$\overline{X}$，样本标准差为$s$。
   • 根据正态总体抽样分布的性质，当总体方差$\sigma^{2}$未知时，统计量$T=\frac{\overline{X}-\mu}{\frac{s}{\sqrt{n}}}$服从自由度为$n - 1$的$t$分布，即$\frac{\overline{X}-\mu}{\frac{s}{\sqrt{n}}}\sim t(n - 1)$。
2. 根据置信度确定分位数：
   • 已知置信度为$0.90$，则$1-\alpha = 0.90$，可计算出$\alpha=1 - 0.90 = 0.1$。
   • 那么$\frac{\alpha}{2}=\frac{0.1}{2}=0.05$。
   • 自由度$n - 1 = 16 - 1 = 15$，所以对应的分位数为$t_{\frac{\alpha}{2}}(n - 1)=t_{0.05}(15)$。
3. 推导置信区间：
   • 对于给定的置信度$1-\alpha$，有$P\left(-t_{\frac{\alpha}{2}}(n - 1)<\frac{\overline{X}-\mu}{\frac{s}{\sqrt{n}}}
   • 对不等式进行变形：
     • 首先，不等式两边同时乘以$\frac{s}{\sqrt{n}}$，得到$-t_{\frac{\alpha}{2}}(n - 1)\frac{s}{\sqrt{n}}<\overline{X}-\mu
     • 然后，不等式两边同时减去$\overline{X}$，再乘以$-1$，不等号方向改变，得到$\overline{X}-t_{\frac{\alpha}{2}}(n - 1)\frac{s}{\sqrt{n}}<\mu<\overline{X}+t_{\frac{\alpha}{2}}(n - 1)\frac{s}{\sqrt{n}}$。
   • 所以$\mu$的置信度为$1-\alpha$的置信区间是$\left(\overline{X}-\frac{s}{\sqrt{n}}t_{\frac{\alpha}{2}}(n - 1),\overline{X}+\frac{s}{\sqrt{n}}t_{\frac{\alpha}{2}}(n - 1)\right)$。
4. 代入样本数据计算置信区间：
   • 已知$\overline{X}=20$，$s = 1$，$n = 16$，$t_{\frac{\alpha}{2}}(n - 1)=t_{0.05}(15)$，代入上述置信区间公式可得：
   • $\left(20-\frac{1}{\sqrt{16}}t_{0.05}(15),20+\frac{1}{\sqrt{16}}t_{0.05}(15)\right)=\left(20-\frac{1}{4}t_{0.05}(15),20+\frac{1}{4}t_{0.05}(15)\right)$。