设随机变量X~N ( 2 , 9 )，则 P (|X| ≤1 )=（）。A.(dfrac (1)(3))-(dfrac (1)(9))B.(dfrac (1)(3))-(dfrac (1)(9))C.(dfrac (1)(3))-(dfrac (1)(9))D.(dfrac (1)(3))-(dfrac (1)(9))

考查要点：本题主要考查正态分布的概率计算，涉及标准化变换及标准正态分布函数Φ的应用。

解题核心思路：

1. 标准化变换：将给定的正态分布变量X转化为标准正态变量Z。
2. 事件转换：将不等式|X| ≤1转换为X的区间范围，并进一步转化为Z的区间。
3. 概率计算：利用标准正态分布函数Φ计算区间概率，并通过Φ的性质化简表达式。

破题关键点：

• 正确标准化：注意均值μ=2，标准差σ=3。
• 区间转换：明确|X| ≤1对应X ∈ [-1, 1]。
• Φ函数性质：利用Φ(-a) = 1 - Φ(a)简化计算。

标准化变换
设X ~ N(2, 9)，则标准化变量为：
$Z = \frac{X - \mu}{\sigma} = \frac{X - 2}{3}$

事件转换
题目要求计算：
$P\{|X| \leq 1\} = P\{-1 \leq X \leq 1\}$

转化为标准正态变量
将X的区间端点代入标准化公式：

• 当X = 1时：
  $Z_1 = \frac{1 - 2}{3} = -\frac{1}{3}$
• 当X = -1时：
  $Z_2 = \frac{-1 - 2}{3} = -1$

概率计算
所求概率为：
$P\{-1 \leq X \leq 1\} = P\{Z_2 \leq Z \leq Z_1\} = \Phi(Z_1) - \Phi(Z_2)$
代入Z值：
$\Phi\left(-\frac{1}{3}\right) - \Phi(-1)$

利用Φ函数性质化简
根据Φ(-a) = 1 - Φ(a)：
$\Phi\left(-\frac{1}{3}\right) = 1 - \Phi\left(\frac{1}{3}\right), \quad \Phi(-1) = 1 - \Phi(1)$
代入后：
$\left[1 - \Phi\left(\frac{1}{3}\right)\right] - \left[1 - \Phi(1)\right] = \Phi(1) - \Phi\left(\frac{1}{3}\right)$

结论
最终结果为选项D：$\Phi(1) - \Phi\left(\dfrac{1}{3}\right)$。