题目
将周长为2p的矩形绕它的一边旋转而构成一个圆柱体, 问矩形的边长各为多少时, 才可使圆柱体的体积为最大？
将周长为$$2p$$的矩形绕它的一边旋转而构成一个圆柱体, 问矩形的边长各为多少时, 才可使圆柱体的体积为最大？
题目解答
答案
解：设矩形的一边为x, 则另一边为$$(p-x)$$,
假设矩形绕$$p-x$$旋转,
则旋转所成圆柱体的体积为$$V=πx^2(p-x)$$，由$$\frac{dV}{dx} =2\pi x(p-x)-\pi x^2$$$$=\pi x(2p-3x)$$$$=0$$,
求得唯一驻点$$x=\frac{2}{3} p$$，由于驻点唯一,
由题意又可知这种圆柱体一定有最大值,
所以当矩形的边长为$$\frac{2p}{3}$$和$$\frac{p}{3}$$时, 绕短边旋转所得圆柱体体积最大。
解析
考查要点：本题主要考查利用导数求解实际应用中的最值问题，涉及几何体体积的计算及优化。
解题核心思路：
- 建立体积函数：根据矩形绕某边旋转形成圆柱的几何特征，确定圆柱的半径和高，进而写出体积表达式。
- 求导找极值：对体积函数求导，找到驻点并判断其是否为最大值。
- 验证合理性：结合实际问题（如边长的取值范围）确认解的可行性。
破题关键点：
- 正确设定变量：设矩形一边为$x$，另一边为$p - x$（周长为$2p$，故边长和为$p$）。
- 明确旋转方向：绕不同边旋转会导致圆柱的半径和高互换，需分别分析两种情况，但最终结果对称。
设定变量与体积表达式
设矩形一边长为$x$，另一边长为$p - x$。
- 绕短边旋转：若绕边长为$p - x$的边旋转，则圆柱的高为$p - x$，底面半径为$x$，体积为：
$V = \pi x^2 (p - x).$ - 绕长边旋转：若绕边长为$x$的边旋转，则圆柱的高为$x$，底面半径为$p - x$，体积为：
$V = \pi (p - x)^2 x.$
求导找极值
以绕短边旋转为例，对$V = \pi x^2 (p - x)$求导：
$\frac{dV}{dx} = \pi \left[ 2x(p - x) - x^2 \right] = \pi x (2p - 3x).$
令$\frac{dV}{dx} = 0$，解得驻点$x = 0$或$x = \frac{2}{3}p$。
- $x = 0$时体积为$0$，舍去；
- $x = \frac{2}{3}p$时，另一边长为$p - \frac{2}{3}p = \frac{1}{3}p$。
验证最大值
二阶导数或单调性分析可知，$x = \frac{2}{3}p$为极大值点。同理，绕长边旋转时，最大值出现在$x = \frac{1}{3}p$，结果对称。因此，边长为$\frac{2}{3}p$和$\frac{1}{3}p$时体积最大。