题目
将周长为2p的矩形绕它的一边旋转而构成一个圆柱体, 问矩形的边长各为多少时, 才可使圆柱体的体积为最大？
将周长为$$2p$$的矩形绕它的一边旋转而构成一个圆柱体, 问矩形的边长各为多少时, 才可使圆柱体的体积为最大？
题目解答
答案
解：设矩形的一边为x, 则另一边为$$(p-x)$$,
假设矩形绕$$p-x$$旋转,
则旋转所成圆柱体的体积为$$V=πx^2(p-x)$$，由$$\frac{dV}{dx} =2\pi x(p-x)-\pi x^2$$$$=\pi x(2p-3x)$$$$=0$$,
求得唯一驻点$$x=\frac{2}{3} p$$，由于驻点唯一,
由题意又可知这种圆柱体一定有最大值,
所以当矩形的边长为$$\frac{2p}{3}$$和$$\frac{p}{3}$$时, 绕短边旋转所得圆柱体体积最大。
解析
步骤 1：定义变量
设矩形的一边为$$x$$，则另一边为$$p-x$$，因为矩形的周长为$$2p$$，所以两边之和为$$p$$。
步骤 2：建立体积函数
当矩形绕$$p-x$$旋转时，所形成的圆柱体的底面半径为$$x$$，高为$$p-x$$，因此圆柱体的体积$$V$$为$$V=πx^2(p-x)$$。
步骤 3：求导数
为了找到体积的最大值，我们需要对体积函数$$V$$关于$$x$$求导，得到$$\frac{dV}{dx} = 2\pi x(p-x) - \pi x^2 = \pi x(2p-3x)$$。
步骤 4：求驻点
令导数等于0，即$$\pi x(2p-3x) = 0$$，解得$$x=0$$或$$x=\frac{2}{3}p$$。由于$$x=0$$不符合实际情况，因此我们只考虑$$x=\frac{2}{3}p$$。
步骤 5：验证最大值
由于驻点唯一，且由题意可知这种圆柱体一定有最大值，因此当$$x=\frac{2}{3}p$$时，圆柱体的体积达到最大。
设矩形的一边为$$x$$，则另一边为$$p-x$$，因为矩形的周长为$$2p$$，所以两边之和为$$p$$。
步骤 2：建立体积函数
当矩形绕$$p-x$$旋转时，所形成的圆柱体的底面半径为$$x$$，高为$$p-x$$，因此圆柱体的体积$$V$$为$$V=πx^2(p-x)$$。
步骤 3：求导数
为了找到体积的最大值，我们需要对体积函数$$V$$关于$$x$$求导，得到$$\frac{dV}{dx} = 2\pi x(p-x) - \pi x^2 = \pi x(2p-3x)$$。
步骤 4：求驻点
令导数等于0，即$$\pi x(2p-3x) = 0$$，解得$$x=0$$或$$x=\frac{2}{3}p$$。由于$$x=0$$不符合实际情况，因此我们只考虑$$x=\frac{2}{3}p$$。
步骤 5：验证最大值
由于驻点唯一，且由题意可知这种圆柱体一定有最大值，因此当$$x=\frac{2}{3}p$$时，圆柱体的体积达到最大。