函数 y = |x| 在 x = 0 处可导。()A. 正确B. 错误

本题考查函数可导性的判断，解题思路是根据函数在某点可导的定义，通过计算函数在该点的左导数和右导数，若左导数和右导数相等，则函数在该点可导，反之则不可导。

根据函数在某点$x_0$处可导的定义，函数$y = f(x)$在$x = x_0$处的导数$f^\prime(x_0)=\lim\limits_{\Delta x \to 0} \frac{\Delta y}{\Delta x}=\lim\limits_{\Delta x \to 0} \frac{f(x_0 + \Delta x) - f(x_0)}{\Delta x}$。
对于函数$y = |x|$，在$x = 0$处，需要分别计算左导数和右导数：

• 计算左导数$f_{-}^\prime(0)$：
  左导数是指$\Delta x$从左侧趋近于$0$，即$\Delta x\lt0$，此时$f(x)= -x$。
  $f_{-}^\prime(0)=\lim\limits_{\Delta x \to 0^-} \frac{f(0 + \Delta x) - f(0)}{\Delta x}=\lim\limits_{\Delta x \to 0^-} \frac{|\Delta x| - |0|}{\Delta x}$
  因为$\Delta x\lt0$，所以$|\Delta x| = -\Delta x$，则$f_{-}^\prime(0)=\lim\limits_{\Delta x \to 0^-} \frac{-\Delta x - 0}{\Delta x}=\lim\limits_{\Delta x \to 0^-} (-1)= -1$。
• 计算右导数$f_{+}^\prime(0)$：
  右导数是指$\Delta x$从右侧趋近于$0$，即$\Delta x\gt0$，此时$f(x)= x$。
  $f_{+}^\prime(0)=\lim\limits_{\Delta x \to 0^+} \frac{f(0 + \Delta x) - f(0)}{\Delta x}=\lim\limits_{\Delta x \to 0^+} \frac{|\Delta x| - |0|}{\Delta x}$
  因为$\Delta x\gt0$，所以$|\Delta x| = \Delta x$，则$f_{+}^\prime(0)=\lim\limits_{\Delta x \to 0^+} \frac{\Delta x - 0}{\Delta x}=\lim\limits_{\Delta x \to 0^+} 1 = 1$。

由于左导数$f_{-}^\prime(0)= -1$，右导数$f_{+}^\prime(0)= 1$，$f_{-}^\prime(0)\neq f_{+}^\prime(0)$，所以函数$y = |x|$在$x = 0$处不可导。