题目
5.设函数f(x)在[a,b]连续，在(a,b)内可微，且f(a)<0,f(b)<0,又有一点cin(a,b),f(c)>0.证明：存在一点xiin(a,b)使得f(xi)+f'(xi)=0.
5.设函数f(x)在[a,b]连续，在(a,b)内可微，且f(a)<0,f(b)<0,又有一点
$c\in(a,b)$,$f(c)>0$.证明：存在一点$\xi\in(a,b)$使得$f(\xi)+f'(\xi)=0$.
题目解答
答案
为了证明存在一点 $\xi \in (a, b)$ 使得 $f(\xi) + f'(\xi) = 0$，我们首先定义一个辅助函数 $g(x) = e^x f(x)$。这个函数 $g(x)$ 在 $[a, b]$ 上连续，在 $(a, b)$ 内可微，因为 $f(x)$ 在 $[a, b]$ 上连续，在 $(a, b)$ 内可微，而 $e^x$ 处处连续且可微。
接下来，我们计算 $g(x)$ 的导数：
\[
g'(x) = \frac{d}{dx}(e^x f(x)) = e^x f(x) + e^x f'(x) = e^x (f(x) + f'(x)).
\]
我们希望找到一点 $\xi \in (a, b)$ 使得 $f(\xi) + f'(\xi) = 0$，这等价于找到一点 $\xi \in (a, b)$ 使得 $g'(\xi) = 0$。
现在，我们考虑 $g(x)$ 在区间 $[a, b]$ 上的值。由于 $f(a) < 0$ 和 $f(b) < 0$，我们有：
\[
g(a) = e^a f(a) < 0 \quad \text{和} \quad g(b) = e^b f(b) < 0.
\]
又因为 $f(c) > 0$，我们有：
\[
g(c) = e^c f(c) > 0.
\]
因此，$g(x)$ 在 $[a, b]$ 上的最小值和最大值不同时在端点 $a$ 和 $b$ 处取得。根据连续函数的最值定理，$g(x)$ 在 $(a, b)$ 内至少有一个最大值点或最小值点。
设 $\xi \in (a, b)$ 是 $g(x)$ 的一个极值点。根据费马定理，$g'(\xi) = 0$。因此，我们有：
\[
e^\xi (f(\xi) + f'(\xi)) = 0.
\]
由于 $e^\xi \neq 0$，我们得到：
\[
f(\xi) + f'(\xi) = 0.
\]
Thus, we have:
\[
\boxed{\xi \in (a, b)}
\]
使得 $f(\xi) + f'(\xi) = 0$。
解析
步骤 1：定义辅助函数
定义辅助函数 $g(x) = e^x f(x)$。这个函数 $g(x)$ 在 $[a, b]$ 上连续，在 $(a, b)$ 内可微，因为 $f(x)$ 在 $[a, b]$ 上连续，在 $(a, b)$ 内可微，而 $e^x$ 处处连续且可微。
步骤 2：计算辅助函数的导数
计算 $g(x)$ 的导数： \[ g'(x) = \frac{d}{dx}(e^x f(x)) = e^x f(x) + e^x f'(x) = e^x (f(x) + f'(x)). \]
步骤 3：分析辅助函数的极值点
由于 $f(a) < 0$ 和 $f(b) < 0$，我们有： \[ g(a) = e^a f(a) < 0 \quad \text{和} \quad g(b) = e^b f(b) < 0. \] 又因为 $f(c) > 0$，我们有： \[ g(c) = e^c f(c) > 0. \] 因此，$g(x)$ 在 $[a, b]$ 上的最小值和最大值不同时在端点 $a$ 和 $b$ 处取得。根据连续函数的最值定理，$g(x)$ 在 $(a, b)$ 内至少有一个最大值点或最小值点。
步骤 4：应用费马定理
设 $\xi \in (a, b)$ 是 $g(x)$ 的一个极值点。根据费马定理，$g'(\xi) = 0$。因此，我们有： \[ e^\xi (f(\xi) + f'(\xi)) = 0. \] 由于 $e^\xi \neq 0$，我们得到： \[ f(\xi) + f'(\xi) = 0. \]
定义辅助函数 $g(x) = e^x f(x)$。这个函数 $g(x)$ 在 $[a, b]$ 上连续，在 $(a, b)$ 内可微，因为 $f(x)$ 在 $[a, b]$ 上连续，在 $(a, b)$ 内可微，而 $e^x$ 处处连续且可微。
步骤 2：计算辅助函数的导数
计算 $g(x)$ 的导数： \[ g'(x) = \frac{d}{dx}(e^x f(x)) = e^x f(x) + e^x f'(x) = e^x (f(x) + f'(x)). \]
步骤 3：分析辅助函数的极值点
由于 $f(a) < 0$ 和 $f(b) < 0$，我们有： \[ g(a) = e^a f(a) < 0 \quad \text{和} \quad g(b) = e^b f(b) < 0. \] 又因为 $f(c) > 0$，我们有： \[ g(c) = e^c f(c) > 0. \] 因此，$g(x)$ 在 $[a, b]$ 上的最小值和最大值不同时在端点 $a$ 和 $b$ 处取得。根据连续函数的最值定理，$g(x)$ 在 $(a, b)$ 内至少有一个最大值点或最小值点。
步骤 4：应用费马定理
设 $\xi \in (a, b)$ 是 $g(x)$ 的一个极值点。根据费马定理，$g'(\xi) = 0$。因此，我们有： \[ e^\xi (f(\xi) + f'(\xi)) = 0. \] 由于 $e^\xi \neq 0$，我们得到： \[ f(\xi) + f'(\xi) = 0. \]