设 X 是一个随机变量，EX = mu，DX = sigma^2 (mu, sigma > 0 为常数)，则对任意常数 c，必有A. E(X - c)^2 = EX^2 - c^2B. E(X - c)^2 = E(X - mu)^2C. E(X - c)^2 D. E(X - c)^2 geq E(X - mu)^2

本题考查随机变量的数学期望和方差的性质，解题的关键思路是将$E(X - c)^2$展开化简，然后通过与$E(X - \mu)^2$比较来判断各个选项的正确性。

步骤一：展开$E(X - c)^2$

根据完全平方公式$(a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$，将$(X - c)^2$展开可得$(X - c)^2 = X^2 - 2cX + c^2$。
再根据数学期望的性质$E(aY + bZ)=aE(Y)+bE(Z)$（$a,b$为常数，$Y,Z$为随机变量），对$E(X - c)^2$进行计算：
$E(X - c)^2 = E(X^2 - 2cX + c^2)=E(X^2)-2cE(X)+c^2$
已知$E(X)=\mu$，则$E(X - c)^2 = E(X^2)-2c\mu + c^2$。

步骤二：分析$E(X - \mu)^2$

同样根据完全平方公式将$(X - \mu)^2$展开得$(X - \mu)^2 = X^2 - 2\mu X + \mu^2$。
再根据数学期望的性质可得：
$E(X - \mu)^2 = E(X^2 - 2\mu X + \mu^2)=E(X^2)-2\mu E(X)+\mu^2$
因为$E(X)=\mu$，所以$E(X - \mu)^2 = E(X^2)-2\mu^2 + \mu^2=E(X^2)-\mu^2$。

步骤三：计算$E(X - c)^2 - E(X - \mu)^2$

将$E(X - c)^2 = E(X^2)-2c\mu + c^2$和$E(X - \mu)^2 = E(X^2)-\mu^2$代入$E(X - c)^2 - E(X - \mu)^2$可得：
$\begin{align*}E(X - c)^2 - E(X - \mu)^2&=(E(X^2)-2c\mu + c^2)-(E(X^2)-\mu^2)\\&=E(X^2)-2c\mu + c^2 - E(X^2)+\mu^2\\&=c^2 - 2c\mu + \mu^2\\&=(c - \mu)^2\end{align*}$
因为任何数的平方都大于等于$0$，即$(c - \mu)^2\geq0$，所以$E(X - c)^2 - E(X - \mu)^2\geq0$，移项可得$E(X - c)^2 \geq E(X - \mu)^2$。

步骤四：分析各个选项

• 选项A：$E(X - c)^2 = E(X^2)-2c\mu + c^2\neq EX^2 - c^2$，所以选项A错误。
• 选项B：由前面计算可知$E(X - c)^2 = E(X^2)-2c\mu + c^2$，$E(X - \mu)^2 = E(X^2)-\mu^2$，一般情况下$E(X - c)^2 \neq E(X - \mu)^2$，所以选项B错误。
• 选项C：因为$E(X - c)^2 \geq E(X - \mu)^2$，而不是$E(X - c)^2 < E(X - \mu)^2$，所以选项C错误。
• 选项D：前面已证明$E(X - c)^2 \geq E(X - \mu)^2$，所以选项D正确。