题目
某电话总机在10分钟内收到的呼唤次数服从泊松分布。若已知某天这个电话总机在10分钟内收到的呼唤次数平均为5次。求这天在任意10分钟内收到的呼唤次数不少于2次的概率。
某电话总机在10分钟内收到的呼唤次数服从泊松分布。若已知某天这个电话总机在10分钟内收到的呼唤次数平均为5次。求这天在任意10分钟内收到的呼唤次数不少于2次的概率。
题目解答
答案
首先，我们知道如果X服从参数为
的泊松分布，即
，那么X的概率质量函数为
其中，是单位时间（或单位面积）内随机事件发生的平均次数。
根据题目，我们知道X服从参数为5的泊松分布，即
。所以，我们可以计算在任意10分钟内收到的呼唤次数不少于2次的概率，即
。由于
，所以我们有
解析
步骤 1：确定泊松分布参数
根据题目，电话总机在10分钟内收到的呼唤次数平均为5次，因此泊松分布的参数$\lambda = 5$。
步骤 2：计算概率质量函数
泊松分布的概率质量函数为$P(X=k)=\dfrac {{\lambda }^{k}{e}^{-\lambda }}{k!}$，其中$k$是呼唤次数，$\lambda$是平均呼唤次数。
步骤 3：计算不少于2次的概率
要计算不少于2次的概率，即$P(X\geqslant 2)$，可以使用$P(X\geqslant 2)=1-P(X<2)=1-P(X=0)-P(X=1)$。
步骤 4：代入参数计算
代入$\lambda = 5$，计算$P(X=0)$和$P(X=1)$，然后计算$P(X\geqslant 2)$。
$P(X=0)=\dfrac {{5}^{0}{e}^{-5}}{0!}={e}^{-5}$
$P(X=1)=\dfrac {{5}^{1}{e}^{-5}}{1!}=5{e}^{-5}$
$P(X\geqslant 2)=1-P(X=0)-P(X=1)=1-{e}^{-5}-5{e}^{-5}=1-6{e}^{-5}$
根据题目，电话总机在10分钟内收到的呼唤次数平均为5次，因此泊松分布的参数$\lambda = 5$。
步骤 2：计算概率质量函数
泊松分布的概率质量函数为$P(X=k)=\dfrac {{\lambda }^{k}{e}^{-\lambda }}{k!}$，其中$k$是呼唤次数，$\lambda$是平均呼唤次数。
步骤 3：计算不少于2次的概率
要计算不少于2次的概率，即$P(X\geqslant 2)$，可以使用$P(X\geqslant 2)=1-P(X<2)=1-P(X=0)-P(X=1)$。
步骤 4：代入参数计算
代入$\lambda = 5$，计算$P(X=0)$和$P(X=1)$，然后计算$P(X\geqslant 2)$。
$P(X=0)=\dfrac {{5}^{0}{e}^{-5}}{0!}={e}^{-5}$
$P(X=1)=\dfrac {{5}^{1}{e}^{-5}}{1!}=5{e}^{-5}$
$P(X\geqslant 2)=1-P(X=0)-P(X=1)=1-{e}^{-5}-5{e}^{-5}=1-6{e}^{-5}$