利用下面的信息，构建总体均值的置信区间。(1) 总体服从正态分布，已知 sigma=500，n=15，bar(x)=8900，置信水平为 95%。(2) 总体不服从正态分布，已知 sigma=500，n=35，bar(x)=8900，置信水平为 95%。(3) 总体不服从正态分布，sigma 未知，n=35，bar(x)=8900，s=500，置信水平为 90%。(4) 总体不服从正态分布，sigma 未知，n=35，bar(x)=8900，s=500，置信水平为 99%。

我们来逐题分析并构建总体均值的置信区间。置信区间的通用公式如下： --- ### **置信区间的一般形式：** $$ \bar{x} \pm z_{\alpha/2} \cdot \frac{\sigma}{\sqrt{n}} \quad \text{（已知总体标准差，用 z 分布）} $$ 或 $$ \bar{x} \pm t_{\alpha/2, \, df=n-1} \cdot \frac{s}{\sqrt{n}} \quad \text{（未知总体标准差，用 t 分布）} $$ 选择 z 还是 t 分布，取决于： - 是否已知总体标准差 $\sigma$ - 样本大小 $n$ - 总体是否服从正态分布 下面我们逐题分析。 --- ### **(1)** 总体服从正态分布，已知 $\sigma=500$，$n=15$，$\bar{x}=8900$，置信水平为 95%。 #### **分析：** - 总体正态分布 ✅ - $\sigma$ 已知 ✅ - $n=15$（小样本），但由于总体正态且 $\sigma$ 已知，**使用 z 分布** #### **计算：** - $\bar{x} = 8900$ - $\sigma = 500$ - $n = 15$ - $\sqrt{n} = \sqrt{15} \approx 3.87298$ - 标准误：$\frac{\sigma}{\sqrt{n}} = \frac{500}{\sqrt{15}} \approx 129.099$ - 置信水平 95% → $\alpha = 0.05$，$\alpha/2 = 0.025$ - 查标准正态分布表：$z_{0.025} = 1.96$ #### **置信区间：** $$ 8900 \pm 1.96 \times 129.099 \approx 8900 \pm 253.03 $$ $$ \Rightarrow (8646.97, 9153.03) $$ #### **答案 (1)：** $$ \boxed{(8646.97,\ 9153.03)} $$ --- ### **(2)** 总体不服从正态分布，已知 $\sigma=500$，$n=35$，$\bar{x}=8900$，置信水平为 95%。 #### **分析：** - 总体**非正态** ❌ - $\sigma$ 已知 ✅ - $n=35$，**大于 30**，根据**中心极限定理**，样本均值近似正态 - 所以可以使用 **z 分布** #### **计算：** - $\bar{x} = 8900$ - $\sigma = 500$ - $n = 35$ - $\sqrt{n} = \sqrt{35} \approx 5.9161$ - 标准误：$\frac{500}{\sqrt{35}} \approx 84.515$ - $z_{0.025} = 1.96$ #### **置信区间：** $$ 8900 \pm 1.96 \times 84.515 \approx 8900 \pm 165.65 $$ $$ \Rightarrow (8734.35, 9065.65) $$ #### **答案 (2)：** $$ \boxed{(8734.35,\ 9065.65)} $$ --- ### **(3)** 总体不服从正态分布，$\sigma$ 未知，$n=35$，$\bar{x}=8900$，$s=500$，置信水平为 90%。 #### **分析：** - 总体非正态 ❌ - $\sigma$ 未知，用样本标准差 $s=500$ ✅ - $n=35$，大于 30，**中心极限定理适用**，样本均值近似正态 - 由于 $\sigma$ 未知，**使用 t 分布**（尽管近似正态，但用 t 更保守） #### **计算：** - $\bar{x} = 8900$ - $s = 500$ - $n = 35$ - $\sqrt{n} \approx 5.9161$ - 标准误：$\frac{s}{\sqrt{n}} = \frac{500}{\sqrt{35}} \approx 84.515$ - 自由度 $df = 34$ - 置信水平 90% → $\alpha = 0.10$，$\alpha/2 = 0.05$ - 查 t 分布表：$t_{0.05, 34} \approx 1.691$ > 注：t 值可通过查表或软件获得，如 $t_{0.05,34} = 1.691$ #### **置信区间：** $$ 8900 \pm 1.691 \times 84.515 \approx 8900 \pm 142.91 $$ $$ \Rightarrow (8757.09, 9042.91) $$ #### **答案 (3)：** $$ \boxed{(8757.09,\ 9042.91)} $$ --- ### **(4)** 总体不服从正态分布，$\sigma$ 未知，$n=35$，$\bar{x}=8900$，$s=500$，置信水平为 99%。 #### **分析：** - 总体非正态 ❌ - $\sigma$ 未知 ✅ - $n=35$，仍大于 30，中心极限定理适用 - 使用 **t 分布** #### **计算：** - $\bar{x} = 8900$ - $s = 500$ - 标准误仍为：$\frac{500}{\sqrt{35}} \approx 84.515$ - $df = 34$ - 置信水平 99% → $\alpha = 0.01$，$\alpha/2 = 0.005$ - 查 t 分布表：$t_{0.005, 34} \approx 2.728$ > 注：t 值约为 2.728（可查表或近似） #### **置信区间：** $$ 8900 \pm 2.728 \times 84.515 \approx 8900 \pm 230.56 $$ $$ \Rightarrow (8669.44, 9130.56) $$ #### **答案 (4)：** $$ \boxed{(8669.44,\ 9130.56)} $$ --- ### ✅ **最终答案汇总：** 1. $(8646.97,\ 9153.03)$ 2. $(8734.35,\ 9065.65)$ 3. $(8757.09,\ 9042.91)$ 4. $(8669.44,\ 9130.56)$ --- ### ? 总结关键点： - **已知 $\sigma$**，无论样本大小，若总体正态或样本足够大（$n \geq 30$），可用 **z 分布** - **未知 $\sigma$**，即使总体非正态，只要 $n \geq 30$，可用 **t 分布**（更准确） - 小样本 + 非正态 → 不适合构造置信区间（但本题中样本都 ≥15，且 (1) 总体正态，其余 $n=35$） - 置信水平越高，置信区间越宽（如 99% 比 90% 宽） --- ✅ 所有题目解答完成。