题目
设随机 变量 X 与 Y 相互独立， sim N(2,4) ,sim N(2,4) 则 sim N(2,4)( A ) N ( 0 , 5 ) ( B ) R ( 2 , 4 ) ( C ) N ( 0 , 3 ) ( D ) N ( 0 , 1 )
设随机 变量 X 与 Y 相互独立， 
,
则 
( A ) N ( 0 , 5 )
( B ) R ( 2 , 4 )
( C ) N ( 0 , 3 )
( D ) N ( 0 , 1 )
题目解答
答案
由于X、Y相互独立，且分别满足相应的正态分布，所以有：
∴将其标准化有：
∴选D
解析
步骤 1：确定 X 和 Y 的分布
给定 $X\sim N(2,4)$ 和 $Y\sim N(2,1)$，其中 $N(\mu,\sigma^2)$ 表示正态分布，$\mu$ 是均值，$\sigma^2$ 是方差。因此，$X$ 的均值为 2，方差为 4；$Y$ 的均值为 2，方差为 1。
步骤 2：计算 X-Y 的分布
由于 X 和 Y 相互独立，$X-Y$ 的均值为 $E(X-Y) = E(X) - E(Y) = 2 - 2 = 0$，方差为 $Var(X-Y) = Var(X) + Var(Y) = 4 + 1 = 5$。因此，$X-Y\sim N(0,5)$。
步骤 3：标准化 X-Y
将 $X-Y$ 标准化，得到 $\dfrac {X-Y}{\sqrt {5}}$。由于 $X-Y\sim N(0,5)$，标准化后的随机变量 $\dfrac {X-Y}{\sqrt {5}}$ 的均值为 0，方差为 1，即 $\dfrac {X-Y}{\sqrt {5}}\sim N(0,1)$。
给定 $X\sim N(2,4)$ 和 $Y\sim N(2,1)$，其中 $N(\mu,\sigma^2)$ 表示正态分布，$\mu$ 是均值，$\sigma^2$ 是方差。因此，$X$ 的均值为 2，方差为 4；$Y$ 的均值为 2，方差为 1。
步骤 2：计算 X-Y 的分布
由于 X 和 Y 相互独立，$X-Y$ 的均值为 $E(X-Y) = E(X) - E(Y) = 2 - 2 = 0$，方差为 $Var(X-Y) = Var(X) + Var(Y) = 4 + 1 = 5$。因此，$X-Y\sim N(0,5)$。
步骤 3：标准化 X-Y
将 $X-Y$ 标准化，得到 $\dfrac {X-Y}{\sqrt {5}}$。由于 $X-Y\sim N(0,5)$，标准化后的随机变量 $\dfrac {X-Y}{\sqrt {5}}$ 的均值为 0，方差为 1，即 $\dfrac {X-Y}{\sqrt {5}}\sim N(0,1)$。