题目
若 X sim F(5,10)，已知 P(X > 3.33)= 0.05, P(X < (1)/(4.74))= 0.05，则 A. F_(0.05)(5,10)= 3.33;B. F_(0.05)(10,5)= 3.33;C. F_(0.05)(5,10)= 3.33;D. F_(0.05)(10,5)= 4.74.
若 $X \sim F(5,10)$，已知 $P(X > 3.33)= 0.05, P(X < \frac{1}{4.74})= 0.05$，则
- A. $F_{0.05}(5,10)= 3.33$;
- B. $F_{0.05}(10,5)= 3.33$;
- C. $F_{0.05}(5,10)= 3.33$;
- D. $F_{0.05}(10,5)= 4.74$.
题目解答
答案
为了解决这个问题，我们需要理解F分布的性质以及给定的概率。F分布，记为 $ F(d_1, d_2) $，其中 $ d_1 $ 和 $ d_2 $ 分别是分子和分母的自由度，具有以下性质：
1. 如果 $ X \sim F(d_1, d_2) $，那么 $ \frac{1}{X} \sim F(d_2, d_1) $。
2. $ F $-分布的上侧分位数 $ F_{\alpha}(d_1, d_2) $ 定义为 $ P(X > F_{\alpha}(d_1, d_2)) = \alpha $。
已知：
\[ P(X > 3.33) = 0.05 \]
\[ P\left(X < \frac{1}{4.74}\right) = 0.05 \]
从第一个概率，我们可以直接得出：
\[ F_{0.05}(5, 10) = 3.33 \]
从第二个性质，由于 $ X \sim F(5, 10) $，则 $ \frac{1}{X} \sim F(10, 5) $。因此，概率 $ P\left(X < \frac{1}{4.74}\right) = 0.05 $ 可以重写为：
\[ P\left(\frac{1}{X} > 4.74\right) = 0.05 \]
这意味着：
\[ F_{0.05}(10, 5) = 4.74 \]
因此，正确的答案是：
\[ \boxed{A \text{ 和 } D} \]
然而，由于问题要求一个正确答案，且似乎存在重复（C与A相同），我们选择不重复的正确答案：
\[ \boxed{A \text{ 和 } D} \]
解析
步骤 1：理解F分布的性质
F分布，记为 $ F(d_1, d_2) $，其中 $ d_1 $ 和 $ d_2 $ 分别是分子和分母的自由度，具有以下性质：
1. 如果 $ X \sim F(d_1, d_2) $，那么 $ \frac{1}{X} \sim F(d_2, d_1) $。
2. $ F $-分布的上侧分位数 $ F_{\alpha}(d_1, d_2) $ 定义为 $ P(X > F_{\alpha}(d_1, d_2)) = \alpha $。
步骤 2：应用给定的概率
已知：
\[ P(X > 3.33) = 0.05 \]
\[ P\left(X < \frac{1}{4.74}\right) = 0.05 \]
步骤 3：确定 $F_{0.05}(5, 10)$
从第一个概率，我们可以直接得出：
\[ F_{0.05}(5, 10) = 3.33 \]
步骤 4：确定 $F_{0.05}(10, 5)$
从第二个性质，由于 $ X \sim F(5, 10) $，则 $ \frac{1}{X} \sim F(10, 5) $。因此，概率 $ P\left(X < \frac{1}{4.74}\right) = 0.05 $ 可以重写为：
\[ P\left(\frac{1}{X} > 4.74\right) = 0.05 \]
这意味着：
\[ F_{0.05}(10, 5) = 4.74 \]
F分布，记为 $ F(d_1, d_2) $，其中 $ d_1 $ 和 $ d_2 $ 分别是分子和分母的自由度，具有以下性质：
1. 如果 $ X \sim F(d_1, d_2) $，那么 $ \frac{1}{X} \sim F(d_2, d_1) $。
2. $ F $-分布的上侧分位数 $ F_{\alpha}(d_1, d_2) $ 定义为 $ P(X > F_{\alpha}(d_1, d_2)) = \alpha $。
步骤 2：应用给定的概率
已知：
\[ P(X > 3.33) = 0.05 \]
\[ P\left(X < \frac{1}{4.74}\right) = 0.05 \]
步骤 3：确定 $F_{0.05}(5, 10)$
从第一个概率，我们可以直接得出：
\[ F_{0.05}(5, 10) = 3.33 \]
步骤 4：确定 $F_{0.05}(10, 5)$
从第二个性质，由于 $ X \sim F(5, 10) $，则 $ \frac{1}{X} \sim F(10, 5) $。因此，概率 $ P\left(X < \frac{1}{4.74}\right) = 0.05 $ 可以重写为：
\[ P\left(\frac{1}{X} > 4.74\right) = 0.05 \]
这意味着：
\[ F_{0.05}(10, 5) = 4.74 \]