题目
【题目】设 X∼N(1,2) ,Y服从参数为3的泊松分布,且X与Y独立,求D(XY)
【题目】设 X∼N(1,2) ,Y服从参数为3的泊松分布,且X与Y独立,求D(XY)
题目解答
答案
【解析】解 ∵D(XY)=E(XY)^2-E^2(XY)=E(X^2Y^2)-E^2(X)E^2(Y)且EE(X^2Y^2)=∫_(-∞)^(+∞)∫_(-∞)^(+∞)x^2y^2f(x,y)dxdy =∫_(-∞)^(+∞)x^2f_x(x)dx∫_(-∞)^(+∞)y^2f_Y(y)dy=E(X^2)E(Y^2) ∴D(XY)=E(X^2)E(Y^2)-E^2(X)E^2(Y) =[D(X)+E^2(X)][D(Y)+E^2(Y)]-E^2(X)E^2(Y) =D(X)D(Y)+D(X)E^2(Y)+D(Y) =2*3+2*3^2+3*1^2=27
解析
步骤 1：确定X和Y的分布参数
X∼N(1,2)表示X服从均值为1，方差为2的正态分布。
Y服从参数为3的泊松分布，即E(Y)=D(Y)=3。
步骤 2：计算D(XY)
D(XY)=E(X^2Y^2)-E^2(XY)
由于X与Y独立，所以E(XY)=E(X)E(Y)，E(X^2Y^2)=E(X^2)E(Y^2)。
步骤 3：计算E(X^2)和E(Y^2)
E(X^2)=D(X)+E^2(X)=2+1^2=3
E(Y^2)=D(Y)+E^2(Y)=3+3^2=12
步骤 4：计算D(XY)
D(XY)=E(X^2)E(Y^2)-E^2(X)E^2(Y)
=3*12-(1^2)*(3^2)
=36-9
=27
X∼N(1,2)表示X服从均值为1，方差为2的正态分布。
Y服从参数为3的泊松分布，即E(Y)=D(Y)=3。
步骤 2：计算D(XY)
D(XY)=E(X^2Y^2)-E^2(XY)
由于X与Y独立，所以E(XY)=E(X)E(Y)，E(X^2Y^2)=E(X^2)E(Y^2)。
步骤 3：计算E(X^2)和E(Y^2)
E(X^2)=D(X)+E^2(X)=2+1^2=3
E(Y^2)=D(Y)+E^2(Y)=3+3^2=12
步骤 4：计算D(XY)
D(XY)=E(X^2)E(Y^2)-E^2(X)E^2(Y)
=3*12-(1^2)*(3^2)
=36-9
=27