2.已知X1,X2,···,Nn为总体X的一组样本,总体X的概率密度为-|||-f(x)= { ^-(theta +1), xgt c, 0, . 。-|||-其中 gt 0 且为已知, theta gt 1 且为未知参数.求:(1)θ的矩估计量;(2)θ的最大似然估-|||-计量.

步骤 1：求矩估计量
首先，我们需要计算总体X的期望值E(X)。根据概率密度函数f(x)，我们有：
$$
E(X) = \int_{c}^{\infty} x \cdot \theta c^{\theta} x^{-(\theta + 1)} dx
$$
$$
= \theta c^{\theta} \int_{c}^{\infty} x^{-(\theta)} dx
$$
$$
= \theta c^{\theta} \left[ \frac{x^{-(\theta - 1)}}{-(\theta - 1)} \right]_{c}^{\infty}
$$
$$
= \theta c^{\theta} \left[ \frac{c^{-(\theta - 1)}}{-(\theta - 1)} \right]
$$
$$
= \frac{\theta c}{\theta - 1}
$$
因此，总体X的期望值E(X)为 $\frac{\theta c}{\theta - 1}$。根据矩估计量的定义，我们有：
$$
\hat{\theta} = \frac{\overline{X}}{X - c}
$$
步骤 2：求最大似然估计量
为了求最大似然估计量，我们需要构造似然函数L(θ)。根据样本X1,X2,···,Xn，我们有：
$$
L(\theta) = \prod_{i=1}^{n} f(x_i) = \prod_{i=1}^{n} \theta c^{\theta} x_i^{-(\theta + 1)}
$$
$$
= \theta^n c^{n\theta} \prod_{i=1}^{n} x_i^{-(\theta + 1)}
$$
为了简化计算，我们对似然函数取对数，得到对数似然函数：
$$
\ln L(\theta) = n \ln \theta + n\theta \ln c - (\theta + 1) \sum_{i=1}^{n} \ln x_i
$$
为了求最大似然估计量，我们需要对对数似然函数求导，并令导数等于0。我们有：
$$
\frac{d}{d\theta} \ln L(\theta) = \frac{n}{\theta} + n \ln c - \sum_{i=1}^{n} \ln x_i = 0
$$
解这个方程，得到最大似然估计量：
$$
\theta = \frac{n}{\sum_{i=1}^{n} \ln x_i - n \ln c}
$$