题目

(3)lim_(ntoinfty)((1)/(sqrt(n^2)+1^(2))+(1)/(sqrt(n^2)+2^(2))+...+(1)/(sqrt(n^2)+n^(2))).

(3)$\lim_{n\to\infty}(\frac{1}{\sqrt{n^{2}+1^{2}}}+\frac{1}{\sqrt{n^{2}+2^{2}}}+\cdots+\frac{1}{\sqrt{n^{2}+n^{2}}})$.

题目解答

答案

将原和式重写为： $$ \sum_{k=1}^n \frac{1}{\sqrt{n^2 + k^2}} = \frac{1}{n} \sum_{k=1}^n \frac{1}{\sqrt{1 + \left(\frac{k}{n}\right)^2}}. $$ 当 $n \to \infty$ 时，该和式收敛于定积分： $$ \int_0^1 \frac{1}{\sqrt{1 + x^2}} \, dx. $$ 利用三角代换 $x = \tan \theta$，得： $$ \int_0^1 \frac{1}{\sqrt{1 + x^2}} \, dx = \int_0^{\frac{\pi}{4}} \sec \theta \, d\theta = \left[ \ln |\sec \theta + \tan \theta| \right]_0^{\frac{\pi}{4}} = \ln (1 + \sqrt{2}). $$ **答案：** $\boxed{\ln (1 + \sqrt{2})}$

解析

考查要点：本题主要考查数列极限转化为定积分的方法，以及定积分的计算技巧，特别是利用三角替换求解积分。

解题核心思路：

  1. 识别和式结构：将和式中的每一项变形为与积分形式相关联的表达式，即$\frac{1}{n}\cdot \frac{1}{\sqrt{1+\left(\frac{k}{n}\right)^2}}$，从而发现其与黎曼和的相似性。
  2. 转化为定积分：当$n \to \infty$时，和式趋近于积分$\int_0^1 \frac{1}{\sqrt{1+x^2}} \, dx$。
  3. 计算定积分：通过三角替换法（令$x = \tan \theta$）简化积分，最终得到结果。

破题关键点：

  • 正确提取公因子$\frac{1}{n}$，将和式转化为积分形式。
  • 选择合适的三角替换，简化被积函数的根号结构。

步骤1：将和式转化为积分形式

原式为：
$\lim_{n \to \infty} \sum_{k=1}^n \frac{1}{\sqrt{n^2 + k^2}}.$
将分母中的$n^2$提出：
$\frac{1}{\sqrt{n^2 + k^2}} = \frac{1}{n \sqrt{1 + \left(\frac{k}{n}\right)^2}}.$
因此，原式可改写为：
$\lim_{n \to \infty} \frac{1}{n} \sum_{k=1}^n \frac{1}{\sqrt{1 + \left(\frac{k}{n}\right)^2}}.$
此时，和式$\frac{1}{n} \sum_{k=1}^n f\left(\frac{k}{n}\right)$符合黎曼和的形式，当$n \to \infty$时，其极限为定积分：
$\int_0^1 \frac{1}{\sqrt{1 + x^2}} \, dx.$

步骤2：计算定积分

三角替换法：令$x = \tan \theta$，则$dx = \sec^2 \theta \, d\theta$，且当$x=0$时$\theta=0$，当$x=1$时$\theta=\frac{\pi}{4}$。代入积分得：
$\int_0^1 \frac{1}{\sqrt{1 + x^2}} \, dx = \int_0^{\frac{\pi}{4}} \frac{\sec^2 \theta}{\sqrt{1 + \tan^2 \theta}} \, d\theta = \int_0^{\frac{\pi}{4}} \sec \theta \, d\theta.$
积分结果为：
$\int \sec \theta \, d\theta = \ln |\sec \theta + \tan \theta| + C.$
代入上下限：
$\left[ \ln (\sec \theta + \tan \theta) \right]_0^{\frac{\pi}{4}} = \ln (\sqrt{2} + 1) - \ln 1 = \ln (1 + \sqrt{2}).$