题目
已知lim _(xarrow 0)dfrac (f(1)-f(1-x))(2x)=1，则lim _(xarrow 0)dfrac (f(1)-f(1-x))(2x)=1
已知
，则
题目解答
答案
根据导数定义式，某点
处的导数可写为
可对
变形：
原式
又有
故
解得
综上，答案为
解析
步骤 1：理解导数定义
导数定义式为：$f'(x_0) = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{f(x_0 + \Delta x) - f(x_0)}{\Delta x}$。这里，$x_0$是函数$f(x)$的某一点，$\Delta x$是$x$的增量。
步骤 2：变形给定的极限表达式
给定的极限表达式为$\lim_{x \to 0} \frac{f(1) - f(1 - x)}{2x}$。为了与导数定义式对应，我们对表达式进行变形。注意到，$f(1 - x)$可以看作是$f(1 + (-x))$，因此，原式可以写为$\lim_{x \to 0} \frac{f(1 + (-x)) - f(1)}{2x}$。
步骤 3：与导数定义式对比
将变形后的表达式与导数定义式对比，可以发现，$\lim_{x \to 0} \frac{f(1 + (-x)) - f(1)}{2x}$与$\lim_{\Delta x \to 0} \frac{f(x_0 + \Delta x) - f(x_0)}{\Delta x}$形式相似，其中$x_0 = 1$，$\Delta x = -x$。因此，原式可以写为$\frac{1}{2} \lim_{x \to 0} \frac{f(1 + (-x)) - f(1)}{-x}$，即$\frac{1}{2} f'(1)$。
步骤 4：求解f'(1)
根据题目条件，$\lim_{x \to 0} \frac{f(1) - f(1 - x)}{2x} = 1$，即$\frac{1}{2} f'(1) = 1$。解得$f'(1) = 2$。
导数定义式为：$f'(x_0) = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{f(x_0 + \Delta x) - f(x_0)}{\Delta x}$。这里，$x_0$是函数$f(x)$的某一点，$\Delta x$是$x$的增量。
步骤 2：变形给定的极限表达式
给定的极限表达式为$\lim_{x \to 0} \frac{f(1) - f(1 - x)}{2x}$。为了与导数定义式对应，我们对表达式进行变形。注意到，$f(1 - x)$可以看作是$f(1 + (-x))$，因此，原式可以写为$\lim_{x \to 0} \frac{f(1 + (-x)) - f(1)}{2x}$。
步骤 3：与导数定义式对比
将变形后的表达式与导数定义式对比，可以发现，$\lim_{x \to 0} \frac{f(1 + (-x)) - f(1)}{2x}$与$\lim_{\Delta x \to 0} \frac{f(x_0 + \Delta x) - f(x_0)}{\Delta x}$形式相似，其中$x_0 = 1$，$\Delta x = -x$。因此，原式可以写为$\frac{1}{2} \lim_{x \to 0} \frac{f(1 + (-x)) - f(1)}{-x}$，即$\frac{1}{2} f'(1)$。
步骤 4：求解f'(1)
根据题目条件，$\lim_{x \to 0} \frac{f(1) - f(1 - x)}{2x} = 1$，即$\frac{1}{2} f'(1) = 1$。解得$f'(1) = 2$。