题目

若随机变量X1,X2,···,,xn,···相互独立，并服从正态分布，且X1,X2,···,,xn,···，则X1,X2,···,,xn,···近似服从X1,X2,···,,xn,···.（）对错

若随机变量 $X_1,X_2,\dots,X_n,\dots$ 相互独立，并服从正态分布，且 $E(X_i)=\mu,D(X_i)=\sigma^2(i=1,2,\dots,n)$ ，则 $\frac{\frac{1}{n}\sum_{i=1}^nX_i-\mu}{\sqrt{\frac{\sigma}{n}}}$ 近似服从 $N\left(0,1\right)$ .（）

题目解答

答案

$X_1,X_2,\dots,X_n,\dots$ 相互独立，且 $E(X_i)=\mu,D(X_i)=\sigma^2(i=1,2,\dots,n)$ ，则 $E\left(\frac{1}{n}\sum_{i=1}^nX_i\right)=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^nE\left(X_i\right)=\mu$ ， $D\left(\frac{1}{n}\sum_{i=1}^nX_i\right)=\frac{1}{n^2}\sum_{i=1}^nD\left(X_i\right)=\frac{\sigma^2}{n}$ ，则 $\frac{1}{n}\sum_{i=1}^nX_i\sim N\left(\mu,\frac{\sigma^2}{n}\right)$ ，则 $\frac{\frac{1}{n}\sum_{i=1}^nX_i-\mu}{\sqrt{\frac{\sigma^2}{n}}}\sim N\left(0,1\right)$ ，因此选择B。