3.(1.0分)下列哪个选项是正确的().-|||-A若随机变量x和y不相互独立,则-|||-X和Y必定相关。-|||-B若随机变量X和Y不相关,则X和Y必-|||-相互独立。-|||-C 若随机变量x和y不相互独立,则-|||-x和y也不相关。

本题主要考查随机变量的独立性与相关性之间的关系以及方差的性质。

对于选项A

若随机变量$X$和$Y$不相互独立，不能直接得出$X$和$Y$必定相关。
不相互独立只是说明两个随机变量之间存在某种关联，但这种关联不一定能通过相关系数体现出来。例如，设$X$服从$[-1,1]$上的均匀分布，$Y = X^2$，$X$和$Y$不相互独立，但$E(XY)=E(X^3)=\int_{-1}^{1}x^3\cdot\frac{1}{2}dx = 0$，$E(X)=\int_{-1}^{1}x\cdot\frac{1}{2}dx = 0$，根据协方差公式$Cov(X,Y)=E(XY)-E(X)E(Y)=0}$，而相关系数$\rho_{XY}=\frac{Cov(X,Y)}{\sqrt{D(X)}\sqrt{D(Y)}} = 0$，说明$X$和$Y$不相关。所以选项A错误。

对于选项B

若随机变量$X$和$Y$不相关，即$Cov(X,Y)=E(XY)-E(X)E(Y)=0$，也就是$E(XY)=E(X)E(Y)$，但这并不意味着$X$和$Y$必相互独立。
相互独立是一个更强的条件，不相关只是说明两个随机变量之间不存在线性关系，但可能存在其他非线性关系。例如上述例子中$X$和$Y$不相关，但$Y = X^2$，它们显然不相互独立。所以选项B错误。

对于选项C

若随机变量$X$和$Y$不相互独立，同样不能得出$X$和$Y$也不相关。
如前面所举例子，$XX[-1,1]$上的均匀分布，$Y = X^2$，$X$和$Y$不相互独立，但$X$和$Y$是不相关的。所以选项C错误。

对于选项D

若$X$和$Y$相互独立，则$Cov(X,Y)=0$。
根据方差的性质$D(X - Y)=D(X)+D(Y)-2Cov(X,Y)$，因为$Cov(X,Y)=0$，所以$D(X - Y)=D(X)+D(Y)$。所以选项D正确。

对于“设随机变量$X$和$Y$不相关”相关结论

• $D(X - Y)=D(X)+D(Y)$：
  根据方差的性质$D(X - Y)=D(X)+D(Y)-2Cov(X,Y)$，因为$X$和$Y$不相关，所以$Cov(X,Y)=0$，则$D(X - Y)=D(X)+D(Y)$，该结论正确。
• $X$与$Y$独立：
  不相关只能说明$X$和$Y$之间不存在线性关系，但不能推出它们相互独立，如前面所举例子，所以该结论错误。
• $D(X - Y)=D(X)-D(Y)$：
  由前面分析可知$D(X - Y)=D(X)+D(Y)$，而不是$D(X)-D(Y)$，所以该结论错误。
• $D(XY)=D(X)D(Y)\(Y)$：
  一般情况下，$D(XY)\neq D(X)D(Y)$，只有在特殊情况下才可能成立，所以该结论错误。