题目
设总体Xsim N(mu ，(sigma )^2)，(X)_(1)，(X)_(2)，···，(X)_(10)是来自X的样本，(1)写出(X)_(1)，(X)_(2)，···，(X)_(10)的联合概率密度；(2)写出overline(X)的概率密度.
设总体$X\sim N\left(\mu ，{\sigma }^{2}\right)$，${X}_{1}$，${X}_{2}$，···，${X}_{10}$是来自X的样本，
(1)写出${X}_{1}$，${X}_{2}$，···，${X}_{10}$的联合概率密度；
(2)写出$\overline{X}$的概率密度.
题目解答
答案
解析
步骤 1：确定单个样本的概率密度函数
由于总体$X\sim N\left(\mu ，{\sigma }^{2}\right)$，则每个样本${X}_{i}$的概率密度函数为：
${f}_{X}(x)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma}e^{-\frac{(x-\mu)^2}{2\sigma^2}}$
步骤 2：确定联合概率密度函数
由于${X}_{1}$，${X}_{2}$，···，${X}_{10}$是来自总体X的独立样本，因此它们的联合概率密度函数为各个样本概率密度函数的乘积：
$f({x}_{1},{x}_{2},\cdots,{x}_{10})=\prod_{i=1}^{10}{f}_{X}({x}_{i})=\prod_{i=1}^{10}\frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma}e^{-\frac{({x}_{i}-\mu)^2}{2\sigma^2}}$
步骤 3：确定样本均值的概率密度函数
样本均值$\overline{X}=\frac{1}{10}\sum_{i=1}^{10}{X}_{i}$，由于${X}_{i}$是独立同分布的正态随机变量，因此$\overline{X}$也服从正态分布，其均值为$\mu$，方差为$\frac{{\sigma}^{2}}{10}$。因此，$\overline{X}$的概率密度函数为：
${f}_{\overline{X}}(x)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}\frac{\sigma}{\sqrt{10}}}e^{-\frac{(x-\mu)^2}{2\frac{{\sigma}^{2}}{10}}}=\frac{\sqrt{10}}{\sqrt{2\pi}\sigma}e^{-\frac{5(x-\mu)^2}{{\sigma}^{2}}}$
由于总体$X\sim N\left(\mu ，{\sigma }^{2}\right)$，则每个样本${X}_{i}$的概率密度函数为：
${f}_{X}(x)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma}e^{-\frac{(x-\mu)^2}{2\sigma^2}}$
步骤 2：确定联合概率密度函数
由于${X}_{1}$，${X}_{2}$，···，${X}_{10}$是来自总体X的独立样本，因此它们的联合概率密度函数为各个样本概率密度函数的乘积：
$f({x}_{1},{x}_{2},\cdots,{x}_{10})=\prod_{i=1}^{10}{f}_{X}({x}_{i})=\prod_{i=1}^{10}\frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma}e^{-\frac{({x}_{i}-\mu)^2}{2\sigma^2}}$
步骤 3：确定样本均值的概率密度函数
样本均值$\overline{X}=\frac{1}{10}\sum_{i=1}^{10}{X}_{i}$，由于${X}_{i}$是独立同分布的正态随机变量，因此$\overline{X}$也服从正态分布，其均值为$\mu$，方差为$\frac{{\sigma}^{2}}{10}$。因此，$\overline{X}$的概率密度函数为：
${f}_{\overline{X}}(x)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}\frac{\sigma}{\sqrt{10}}}e^{-\frac{(x-\mu)^2}{2\frac{{\sigma}^{2}}{10}}}=\frac{\sqrt{10}}{\sqrt{2\pi}\sigma}e^{-\frac{5(x-\mu)^2}{{\sigma}^{2}}}$