题目
2.随机地取某种炮弹9发做试验，得炮弹口速度的样本标准差为s=11(m/s)。设炮口速度服从正态分布。求这种炮弹的炮口速度的方差sigma^2的置信度为0.95的单侧置信区间。
2.随机地取某种炮弹9发做试验，得炮弹口速度的样本标准差为s=11(m/s)。设炮口速度服从正态分布。求这种炮弹的炮口速度的方差$\sigma^{2}$的置信度为0.95的单侧置信区间。
题目解答
答案
已知样本大小 $n = 9$，样本标准差 $s = 11$ m/s，置信度为 0.95。自由度 $df = n - 1 = 8$。
计算样本方差：$s^2 = 121$。
查卡方分布表得：
- $\chi^2_{0.05}(8) = 15.5073$
- $\chi^2_{0.95}(8) = 2.7326$
**下限置信区间**：
\[
\left(0, \frac{(n-1)s^2}{\chi^2_{0.05}(8)}\right) = \left(0, \frac{8 \times 121}{15.5073}\right) \approx (0, 62.42)
\]
**上限置信区间**：
\[
\left(\frac{(n-1)s^2}{\chi^2_{0.95}(8)}, \infty\right) = \left(\frac{8 \times 121}{2.7326}, \infty\right) \approx (354.24, \infty)
\]
**答案**：
下限置信区间为 $(0, 62.42)$，上限置信区间为 $(354.24, \infty)$。
通常关注上限，表示方差可能的最大值。
\[
\boxed{
\begin{array}{ll}
\text{下限置信区间：} & (0, 62.42) \\
\text{上限置信区间：} & (354.24, \infty) \\
\end{array}
}
\]
解析
考查要点：本题主要考查单侧置信区间的计算，涉及卡方分布的应用。需要掌握方差的置信区间公式，并正确查卡方分布表。
解题核心思路：
- 确定样本方差：由样本标准差计算样本方差。
- 确定自由度：自由度为样本容量减一。
- 查卡方分位数：根据置信度和自由度，查找卡方分布的上分位数和下分位数。
- 构造单侧置信区间：分别计算方差的上限置信区间和下限置信区间。
破题关键点：
- 单侧置信区间的方向：上限对应右侧分位数，下限对应左侧分位数。
- 分位数的选择：上限使用$\chi^2_{\alpha}(df)$，下限使用$\chi^2_{1-\alpha}(df)$。
步骤1：计算样本方差
已知样本标准差$s=11$，则样本方差为：
$s^2 = 11^2 = 121.$
步骤2：确定自由度
自由度为：
$df = n - 1 = 9 - 1 = 8.$
步骤3：查卡方分位数
- 上限置信区间：使用$\chi^2_{0.05}(8) = 15.5073$。
- 下限置信区间：使用$\chi^2_{0.95}(8) = 2.7326$。
步骤4：构造置信区间
上限置信区间
$\left( \frac{(n-1)s^2}{\chi^2_{0.05}(8)}, \infty \right) = \left( \frac{8 \times 121}{15.5073}, \infty \right) \approx (0, 62.42).$
下限置信区间
$\left( 0, \frac{(n-1)s^2}{\chi^2_{0.95}(8)} \right) = \left( 0, \frac{8 \times 121}{2.7326} \right) \approx (354.24, \infty).$