题目
12(3分)设X1,X2 X3,X4是来自N(0,1)的样本, =(({X)_(1)+(X)_(2))}^2+(({X)_(3)+(X)_(4))}^2 ,当 c= () 时,cY服从 ^2-|||-A.1 B. dfrac (1)(6)-|||-C. dfrac (1)(2) D. dfrac (1)(3)
题目解答
答案
解析
步骤 1：定义新变量
设 ${y}_{1}={x}_{1}+{x}_{2}$ 和 ${y}_{2}={x}_{3}+{x}_{4}$，其中 ${x}_{1},{x}_{2},{x}_{3},{x}_{4}$ 是来自 $N(0,1)$ 的样本。
步骤 2：计算新变量的期望和方差
由于 ${x}_{1},{x}_{2},{x}_{3},{x}_{4}$ 是来自 $N(0,1)$ 的样本，所以 $E({x}_{i})=0$ 和 $D({x}_{i})=1$ 对于 $i=1,2,3,4$。因此，$E({y}_{1})=E({y}_{2})=0$，$D({y}_{1})=D({y}_{2})=2$。
步骤 3：将新变量转换为卡方分布
由于 ${y}_{1}$ 和 ${y}_{2}$ 是独立的，所以 $\dfrac {{{y}_{1}}^{2}}{2}\sim {x}^{2}(1)$ 和 $\dfrac {{{y}_{2}}^{2}}{2}\sim {x}^{2}(1)$。因此，$\dfrac {1}{2}({{y}_{1}}^{2}+{{y}_{2}}^{2})\sim {x}^{2}(2)$。
步骤 4：确定c的值
由于 $Y={({X}_{1}+{X}_{2})}^{2}+{({X}_{3}+{X}_{4})}^{2}={{y}_{1}}^{2}+{{y}_{2}}^{2}$，所以 $cY=c({{y}_{1}}^{2}+{{y}_{2}}^{2})$。为了使 $cY$ 服从 ${x}^{2}(2)$，需要 $c=\dfrac {1}{2}$。
设 ${y}_{1}={x}_{1}+{x}_{2}$ 和 ${y}_{2}={x}_{3}+{x}_{4}$，其中 ${x}_{1},{x}_{2},{x}_{3},{x}_{4}$ 是来自 $N(0,1)$ 的样本。
步骤 2：计算新变量的期望和方差
由于 ${x}_{1},{x}_{2},{x}_{3},{x}_{4}$ 是来自 $N(0,1)$ 的样本，所以 $E({x}_{i})=0$ 和 $D({x}_{i})=1$ 对于 $i=1,2,3,4$。因此，$E({y}_{1})=E({y}_{2})=0$，$D({y}_{1})=D({y}_{2})=2$。
步骤 3：将新变量转换为卡方分布
由于 ${y}_{1}$ 和 ${y}_{2}$ 是独立的，所以 $\dfrac {{{y}_{1}}^{2}}{2}\sim {x}^{2}(1)$ 和 $\dfrac {{{y}_{2}}^{2}}{2}\sim {x}^{2}(1)$。因此，$\dfrac {1}{2}({{y}_{1}}^{2}+{{y}_{2}}^{2})\sim {x}^{2}(2)$。
步骤 4：确定c的值
由于 $Y={({X}_{1}+{X}_{2})}^{2}+{({X}_{3}+{X}_{4})}^{2}={{y}_{1}}^{2}+{{y}_{2}}^{2}$，所以 $cY=c({{y}_{1}}^{2}+{{y}_{2}}^{2})$。为了使 $cY$ 服从 ${x}^{2}(2)$，需要 $c=\dfrac {1}{2}$。