题目
2.lim _(xarrow 1)dfrac (arcsin ({x)^2-1)}(x-1)=（ ）A.lim _(xarrow 1)dfrac (arcsin ({x)^2-1)}(x-1)B.2C.0D.1
2.
=（ ）
A.
B.2
C.0
D.1
题目解答
答案
解：
本题选B
解析
步骤 1：确定极限类型
题目要求计算的是当$x$趋近于1时，函数$\dfrac {\arcsin ({x}^{2}-1)}{x-1}$的极限。这是一个$\frac{0}{0}$型的不定式，可以使用洛必达法则来解决。
步骤 2：应用洛必达法则
洛必达法则指出，如果$\lim_{x\to a}f(x)=0$且$\lim_{x\to a}g(x)=0$，那么$\lim_{x\to a}\frac{f(x)}{g(x)}=\lim_{x\to a}\frac{f'(x)}{g'(x)}$，如果后者存在。因此，我们对分子和分母分别求导。
分子的导数为$\frac{d}{dx}[\arcsin(x^2-1)] = \frac{2x}{\sqrt{1-(x^2-1)^2}}$，分母的导数为$\frac{d}{dx}[x-1] = 1$。
步骤 3：计算导数后的极限
将导数代入原极限表达式中，得到$\lim_{x\to 1}\frac{2x}{\sqrt{1-(x^2-1)^2}}$。将$x=1$代入，得到$\frac{2*1}{\sqrt{1-(1^2-1)^2}} = \frac{2}{\sqrt{1}} = 2$。
题目要求计算的是当$x$趋近于1时，函数$\dfrac {\arcsin ({x}^{2}-1)}{x-1}$的极限。这是一个$\frac{0}{0}$型的不定式，可以使用洛必达法则来解决。
步骤 2：应用洛必达法则
洛必达法则指出，如果$\lim_{x\to a}f(x)=0$且$\lim_{x\to a}g(x)=0$，那么$\lim_{x\to a}\frac{f(x)}{g(x)}=\lim_{x\to a}\frac{f'(x)}{g'(x)}$，如果后者存在。因此，我们对分子和分母分别求导。
分子的导数为$\frac{d}{dx}[\arcsin(x^2-1)] = \frac{2x}{\sqrt{1-(x^2-1)^2}}$，分母的导数为$\frac{d}{dx}[x-1] = 1$。
步骤 3：计算导数后的极限
将导数代入原极限表达式中，得到$\lim_{x\to 1}\frac{2x}{\sqrt{1-(x^2-1)^2}}$。将$x=1$代入，得到$\frac{2*1}{\sqrt{1-(1^2-1)^2}} = \frac{2}{\sqrt{1}} = 2$。