题目
随机地选了8个人,分别测量了他们在早晨起床时和晚上就寝时的身高-|||-(cm),得到以下的数据:-|||-序号 1 2 3 4 5 6 7 8-|||-早上(x1) 172 168 180 181 160 163 165 177-|||-晚上(y1) 172 167 177 179 159 161 166 175-|||-设各对数据的差 _(i)=(X)_(i)-(X)_(i)(i=1,2,... ,8) 是来自正态总体N (μD,σb^2)的-|||-样本,μD,00^b≠知,问是否可以认为早晨的身高比晚上的身高要高(取-|||-alpha =0.05 ?
题目解答
答案
解析
步骤 1：计算差值
根据题目给出的数据，计算每对数据的差值 ${D}_{i}={X}_{i}-{Y}_{i}$，其中 ${X}_{i}$ 是早晨的身高，${Y}_{i}$ 是晚上的身高。计算得到的差值分别为：0, 1, 3, 2, 1, 2, -1, 2。
步骤 2：计算差值的平均值和标准差
计算差值的平均值 $\overline{D}$ 和标准差 ${S}_{D}$。差值的平均值 $\overline{D} = \frac{1}{8} \sum_{i=1}^{8} D_i = 1.25$。差值的标准差 ${S}_{D} = \sqrt{\frac{1}{7} \sum_{i=1}^{8} (D_i - \overline{D})^2} = 1.2817$。
步骤 3：进行t检验
采用t检验，检验统计量 $t = \frac{\overline{D} - 0}{S_D / \sqrt{n}}$，其中 $n=8$。计算得到 $t = \frac{1.25 - 0}{1.2817 / \sqrt{8}} = 2.758$。在显著性水平 $\alpha = 0.05$ 下，自由度为 $n-1=7$ 的t分布临界值为 ${t}_{0.05}(7) = 1.8946$。由于 $t = 2.758 > 1.8946$，落在拒绝域内，因此拒绝原假设 ${H}_{0}:\mu D\leqslant 0$，接受备择假设 ${H}_{1}:{H}_{2}O\gt O$，认为早晨的身高比晚上的身高要高。
根据题目给出的数据，计算每对数据的差值 ${D}_{i}={X}_{i}-{Y}_{i}$，其中 ${X}_{i}$ 是早晨的身高，${Y}_{i}$ 是晚上的身高。计算得到的差值分别为：0, 1, 3, 2, 1, 2, -1, 2。
步骤 2：计算差值的平均值和标准差
计算差值的平均值 $\overline{D}$ 和标准差 ${S}_{D}$。差值的平均值 $\overline{D} = \frac{1}{8} \sum_{i=1}^{8} D_i = 1.25$。差值的标准差 ${S}_{D} = \sqrt{\frac{1}{7} \sum_{i=1}^{8} (D_i - \overline{D})^2} = 1.2817$。
步骤 3：进行t检验
采用t检验，检验统计量 $t = \frac{\overline{D} - 0}{S_D / \sqrt{n}}$，其中 $n=8$。计算得到 $t = \frac{1.25 - 0}{1.2817 / \sqrt{8}} = 2.758$。在显著性水平 $\alpha = 0.05$ 下，自由度为 $n-1=7$ 的t分布临界值为 ${t}_{0.05}(7) = 1.8946$。由于 $t = 2.758 > 1.8946$，落在拒绝域内，因此拒绝原假设 ${H}_{0}:\mu D\leqslant 0$，接受备择假设 ${H}_{1}:{H}_{2}O\gt O$，认为早晨的身高比晚上的身高要高。