题目
设总体 X sim B(N, p), p 为未知参数, (X_1, X_2, ..., X_n) 是来自总体 X 的一个样本, 则参数 p 的极大似然估计量为A. hat(p) = (overline(X))/(n)B. hat(p) = (overline(X))/(N)C. hat(p) = noverline(X)D. hat(p) = Noverline(X)
设总体 $X \sim B(N, p)$, $p$ 为未知参数, $(X_1, X_2, \cdots, X_n)$ 是来自总体 $X$ 的一个样本, 则参数 $p$ 的极大似然估计量为
A. $\hat{p} = \frac{\overline{X}}{n}$
B. $\hat{p} = \frac{\overline{X}}{N}$
C. $\hat{p} = n\overline{X}$
D. $\hat{p} = N\overline{X}$
题目解答
答案
B. $\hat{p} = \frac{\overline{X}}{N}$
解析
步骤 1：定义似然函数
似然函数是基于样本数据，对参数 $p$ 的函数。对于二项分布 $B(N, p)$，似然函数可以表示为：
\[ L(p) = \prod_{i=1}^{n} \binom{N}{X_i} p^{X_i} (1-p)^{N-X_i} \]
步骤 2：取对数似然函数
为了简化计算，我们对似然函数取对数，得到对数似然函数：
\[ \ell(p) = \sum_{i=1}^{n} \left[ \log \binom{N}{X_i} + X_i \log p + (N-X_i) \log (1-p) \right] \]
步骤 3：求导并解方程
对对数似然函数关于 $p$ 求导，并令导数等于零，得到：
\[ \frac{d \ell(p)}{d p} = \sum_{i=1}^{n} \left[ \frac{X_i}{p} - \frac{N-X_i}{1-p} \right] = 0 \]
解得：
\[ p = \frac{\sum_{i=1}^{n} X_i}{nN} = \frac{\overline{X}}{N} \]
似然函数是基于样本数据，对参数 $p$ 的函数。对于二项分布 $B(N, p)$，似然函数可以表示为：
\[ L(p) = \prod_{i=1}^{n} \binom{N}{X_i} p^{X_i} (1-p)^{N-X_i} \]
步骤 2：取对数似然函数
为了简化计算，我们对似然函数取对数，得到对数似然函数：
\[ \ell(p) = \sum_{i=1}^{n} \left[ \log \binom{N}{X_i} + X_i \log p + (N-X_i) \log (1-p) \right] \]
步骤 3：求导并解方程
对对数似然函数关于 $p$ 求导，并令导数等于零，得到：
\[ \frac{d \ell(p)}{d p} = \sum_{i=1}^{n} \left[ \frac{X_i}{p} - \frac{N-X_i}{1-p} \right] = 0 \]
解得：
\[ p = \frac{\sum_{i=1}^{n} X_i}{nN} = \frac{\overline{X}}{N} \]