题目
某射手射击时命中7、8、9、10环的概率分别为0.2、0.1、0.2、0.5。假设他进行了200次射击，用中心极限定理求200次射击的平均环数大于9的概率约为______(结果保留小数点后一位)A. 0.4B. 0.5C. 0.3D. 0.6
某射手射击时命中7、8、9、10环的概率分别为0.2、0.1、0.2、0.5。假设他进行了200次射击，用中心极限定理求200次射击的平均环数大于9的概率约为______(结果保留小数点后一位)
A. 0.4
B. 0.5
C. 0.3
D. 0.6
题目解答
答案
B. 0.5
解析
步骤 1：计算单次射击的期望
根据题目给出的概率分布，计算单次射击的期望值 $E(X)$。 \[ E(X) = 7 \times 0.2 + 8 \times 0.1 + 9 \times 0.2 + 10 \times 0.5 = 9 \]
步骤 2：计算单次射击的方差
首先计算 $E(X^2)$，然后利用方差公式 $D(X) = E(X^2) - [E(X)]^2$。 \[ E(X^2) = 7^2 \times 0.2 + 8^2 \times 0.1 + 9^2 \times 0.2 + 10^2 \times 0.5 = 82.4 \] \[ D(X) = E(X^2) - [E(X)]^2 = 82.4 - 81 = 1.4 \]
步骤 3：应用中心极限定理
根据中心极限定理，200次射击总和 $S$ 近似服从 $N(1800, 280)$。 \[ S \sim N(1800, 280) \]
步骤 4：求平均环数大于9的概率
将问题转化为求总和 $S$ 大于1800的概率，然后利用标准正态分布表求解。 \[ P\left(\frac{S}{200} > 9\right) = P(S > 1800) = P\left(Z > \frac{1800 - 1800}{\sqrt{280}}\right) = P(Z > 0) = 0.5 \]
根据题目给出的概率分布，计算单次射击的期望值 $E(X)$。 \[ E(X) = 7 \times 0.2 + 8 \times 0.1 + 9 \times 0.2 + 10 \times 0.5 = 9 \]
步骤 2：计算单次射击的方差
首先计算 $E(X^2)$，然后利用方差公式 $D(X) = E(X^2) - [E(X)]^2$。 \[ E(X^2) = 7^2 \times 0.2 + 8^2 \times 0.1 + 9^2 \times 0.2 + 10^2 \times 0.5 = 82.4 \] \[ D(X) = E(X^2) - [E(X)]^2 = 82.4 - 81 = 1.4 \]
步骤 3：应用中心极限定理
根据中心极限定理，200次射击总和 $S$ 近似服从 $N(1800, 280)$。 \[ S \sim N(1800, 280) \]
步骤 4：求平均环数大于9的概率
将问题转化为求总和 $S$ 大于1800的概率，然后利用标准正态分布表求解。 \[ P\left(\frac{S}{200} > 9\right) = P(S > 1800) = P\left(Z > \frac{1800 - 1800}{\sqrt{280}}\right) = P(Z > 0) = 0.5 \]