题目
据文化和旅游部数据中心测算，2023年“五一”假期，全国国内旅游出游合计2.74亿人次，同比增长70.83%．为迎接暑期旅游高峰的到来，某旅游公司对今年年初推出一项新的旅游产品1～5月份的营业收入（万元）进行统计，统计数据如表所示： 月份x 1 2 3 4 5 月收入y（万元） 94 98 105 115 123 （1）依据表中给出的数据，建立该项旅游产品月收入y万元关于月份x的线性回归方程，并预测该项旅游产品今年7月份的营业收入是多少万元？（2）观察表中数据可以看出该产品很受游客欢迎，为了进一步了解喜爱该旅游产品是否与性别有关，工作人员随机调查了100名游客，被调查的女性游客人数占40%，其中喜爱的人数为25人，调查到的男性游客中喜爱的人数占(3)/(4)．①根据调查情况填写2×2列联表；②根据列联表中数据能否有90%的把握认为“游客喜爱该旅游产品与性别有关”？ 喜爱 不喜爱 总计 女性人数 男性人数 总计 参考公式及数据：hat(b)=((sum_{i=1)^n(（{{x_i)-overline(x)}）}（({y_i)-overline(y)}）})/((sum_{i=1)^n{{{（{{x_i)-overline(x)}）}^2}}}}=((sum_{i=1)^n({x_i))/(y_i)-noverline(x)⋅overline(y)}}({sum_{i=1)^n(x_i^2)-n({overline{x)}^2}}}，hat(a)=overline(y)-hat(b)overline(x)．(χ^2)=((n{{（ad-bc）)^2}})/((（{a+b)）（{c+d)）（(a+c)）（(b+d)）}}，其中n=a+b+c+d． P（χ2≥x0） 0.10 0.050 0.010 0.001 x0 2.706 3.841 6.635 10.828
据文化和旅游部数据中心测算，2023年“五一”假期，全国国内旅游出游合计2.74亿人次，同比增长70.83%．为迎接暑期旅游高峰的到来，某旅游公司对今年年初推出一项新的旅游产品1～5月份的营业收入（万元）进行统计，统计数据如表所示：
（1）依据表中给出的数据，建立该项旅游产品月收入y万元关于月份x的线性回归方程，并预测该项旅游产品今年7月份的营业收入是多少万元？
（2）观察表中数据可以看出该产品很受游客欢迎，为了进一步了解喜爱该旅游产品是否与性别有关，工作人员随机调查了100名游客，被调查的女性游客人数占40%，其中喜爱的人数为25人，调查到的男性游客中喜爱的人数占$\frac{3}{4}$．
①根据调查情况填写2×2列联表；
②根据列联表中数据能否有90%的把握认为“游客喜爱该旅游产品与性别有关”？
参考公式及数据：$\hat{b}=\frac{{\sum_{i=1}^n{（{{x_i}-\overline{x}}）}（{{y_i}-\overline{y}}）}}{{\sum_{i=1}^n{{{（{{x_i}-\overline{x}}）}^2}}}}=\frac{{\sum_{i=1}^n{{x_i}}{y_i}-n\overline{x}⋅\overline{y}}}{{\sum_{i=1}^n{x_i^2}-n{{\overline{x}}^2}}}，\hat{a}=\overline{y}-\hat{b}\overline{x}$．${χ^2}=\frac{{n{{（ad-bc）}^2}}}{{（{a+b}）（{c+d}）（{a+c}）（{b+d}）}}$，其中n=a+b+c+d．
| 月份x | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
| 月收入y（万元） | 94 | 98 | 105 | 115 | 123 |
（2）观察表中数据可以看出该产品很受游客欢迎，为了进一步了解喜爱该旅游产品是否与性别有关，工作人员随机调查了100名游客，被调查的女性游客人数占40%，其中喜爱的人数为25人，调查到的男性游客中喜爱的人数占$\frac{3}{4}$．
①根据调查情况填写2×2列联表；
②根据列联表中数据能否有90%的把握认为“游客喜爱该旅游产品与性别有关”？
| 喜爱 | 不喜爱 | 总计 | |
| 女性人数 | |||
| 男性人数 | |||
| 总计 |
| P（χ2≥x0） | 0.10 | 0.050 | 0.010 | 0.001 |
| x0 | 2.706 | 3.841 | 6.635 | 10.828 |
题目解答
答案
解：（1）设y关于x的线性回归方程$\hat{y}=\hat{b}x+\hat{a}$，
已知$\overline{x}$=$\frac{1+2+3+4+5}{5}$=3，$\overline{y}$=$\frac{94+98+105+115+123}{5}$=107，
$\sum_{i=1}^{5}（{x}_{i}-\overline{x}）^{2}$=10，$\sum_{i=1}^{5}$（xi-$\overline{x}$）（yi-$\overline{y}$）=26+9+0+8+32=75，
所以$\hat{b}$=$\frac{\sum_{i=1}^{5}（{x}_{i}-\overline{x}）（{y}_{i}-\overline{y}）}{\sum_{i=1}^{5}（{x}_{i}-\overline{x}）^{2}}$=7.5，
则$\hat{a}=\overline{y}-\hat{b}\overline{x}=84.5$，
所以$\hat{y}$=7.5x+84.5，
当x=7时，y=137，
所以y关于x的线性回归方程为$\hat{y}=7.5x+84.5$，
预测该项旅游产品今年7月份的营业收入是137万元；
（2）①调查情况2×2列联表为：
②提出假设H0：喜爱该旅游产品与性别没有关系，
根据表中数据可得χ2=$\frac{100（25×15-15×40）^{2}}{40×60×70×30}$=$\frac{25}{14}$≈1.786，
因为1.786＜2.706，
所以没有90%把握认为“游客喜爱该旅游产品与性别有关”．
已知$\overline{x}$=$\frac{1+2+3+4+5}{5}$=3，$\overline{y}$=$\frac{94+98+105+115+123}{5}$=107，
$\sum_{i=1}^{5}（{x}_{i}-\overline{x}）^{2}$=10，$\sum_{i=1}^{5}$（xi-$\overline{x}$）（yi-$\overline{y}$）=26+9+0+8+32=75，
所以$\hat{b}$=$\frac{\sum_{i=1}^{5}（{x}_{i}-\overline{x}）（{y}_{i}-\overline{y}）}{\sum_{i=1}^{5}（{x}_{i}-\overline{x}）^{2}}$=7.5，
则$\hat{a}=\overline{y}-\hat{b}\overline{x}=84.5$，
所以$\hat{y}$=7.5x+84.5，
当x=7时，y=137，
所以y关于x的线性回归方程为$\hat{y}=7.5x+84.5$，
预测该项旅游产品今年7月份的营业收入是137万元；
（2）①调查情况2×2列联表为：
| 喜爱 | 不喜爱 | 总计 | |
| 女性人数 | 25 | 15 | 40 |
| 男性人数 | 45 | 15 | 60 |
| 总计 | 70 | 30 | 100 |
根据表中数据可得χ2=$\frac{100（25×15-15×40）^{2}}{40×60×70×30}$=$\frac{25}{14}$≈1.786，
因为1.786＜2.706，
所以没有90%把握认为“游客喜爱该旅游产品与性别有关”．
解析
步骤 1：计算平均值
计算x和y的平均值$\overline{x}$和$\overline{y}$。
步骤 2：计算斜率$\hat{b}$
使用公式$\hat{b}=\frac{{\sum_{i=1}^n{（{{x_i}-\overline{x}}）}（{{y_i}-\overline{y}}）}}{{\sum_{i=1}^n{{{（{{x_i}-\overline{x}}）}^2}}}}$计算斜率$\hat{b}$。
步骤 3：计算截距$\hat{a}$
使用公式$\hat{a}=\overline{y}-\hat{b}\overline{x}$计算截距$\hat{a}$。
步骤 4：建立线性回归方程
将$\hat{a}$和$\hat{b}$代入线性回归方程$\hat{y}=\hat{b}x+\hat{a}$。
步骤 5：预测7月份的营业收入
将x=7代入线性回归方程，计算$\hat{y}$的值。
【答案】
（1）线性回归方程为$\hat{y}=7.5x+84.5$，预测7月份的营业收入为137万元。
（2）观察表中数据可以看出该产品很受游客欢迎，为了进一步了解喜爱该旅游产品是否与性别有关，工作人员随机调查了100名游客，被调查的女性游客人数占40%，其中喜爱的人数为25人，调查到的男性游客中喜爱的人数占$\frac{3}{4}$．
①根据调查情况填写2×2列联表；
②根据列联表中数据能否有90%的把握认为“游客喜爱该旅游产品与性别有关”？
【解析】
步骤 1：计算女性游客人数
女性游客人数占40%，总人数为100，计算女性游客人数。
步骤 2：计算男性游客人数
男性游客人数为总人数减去女性游客人数。
步骤 3：计算女性喜爱人数
女性喜爱人数为25人。
步骤 4：计算男性喜爱人数
男性游客中喜爱的人数占$\frac{3}{4}$，计算男性喜爱人数。
步骤 5：计算女性不喜爱人数
女性不喜爱人数为女性游客人数减去女性喜爱人数。
步骤 6：计算男性不喜爱人数
男性不喜爱人数为男性游客人数减去男性喜爱人数。
步骤 7：填写2×2列联表
根据以上计算结果填写2×2列联表。
步骤 8：计算χ^{2}值
使用公式${χ^2}=\frac{{n{{（ad-bc）}^2}}}{{（{a+b}）（{c+d}）（{a+c}）（{b+d}）}}$计算χ^{2}值。
步骤 9：判断是否能有90%的把握认为“游客喜爱该旅游产品与性别有关”
比较χ^{2}值与2.706，判断是否能有90%的把握认为“游客喜爱该旅游产品与性别有关”。
计算x和y的平均值$\overline{x}$和$\overline{y}$。
步骤 2：计算斜率$\hat{b}$
使用公式$\hat{b}=\frac{{\sum_{i=1}^n{（{{x_i}-\overline{x}}）}（{{y_i}-\overline{y}}）}}{{\sum_{i=1}^n{{{（{{x_i}-\overline{x}}）}^2}}}}$计算斜率$\hat{b}$。
步骤 3：计算截距$\hat{a}$
使用公式$\hat{a}=\overline{y}-\hat{b}\overline{x}$计算截距$\hat{a}$。
步骤 4：建立线性回归方程
将$\hat{a}$和$\hat{b}$代入线性回归方程$\hat{y}=\hat{b}x+\hat{a}$。
步骤 5：预测7月份的营业收入
将x=7代入线性回归方程，计算$\hat{y}$的值。
【答案】
（1）线性回归方程为$\hat{y}=7.5x+84.5$，预测7月份的营业收入为137万元。
（2）观察表中数据可以看出该产品很受游客欢迎，为了进一步了解喜爱该旅游产品是否与性别有关，工作人员随机调查了100名游客，被调查的女性游客人数占40%，其中喜爱的人数为25人，调查到的男性游客中喜爱的人数占$\frac{3}{4}$．
①根据调查情况填写2×2列联表；
②根据列联表中数据能否有90%的把握认为“游客喜爱该旅游产品与性别有关”？
【解析】
步骤 1：计算女性游客人数
女性游客人数占40%，总人数为100，计算女性游客人数。
步骤 2：计算男性游客人数
男性游客人数为总人数减去女性游客人数。
步骤 3：计算女性喜爱人数
女性喜爱人数为25人。
步骤 4：计算男性喜爱人数
男性游客中喜爱的人数占$\frac{3}{4}$，计算男性喜爱人数。
步骤 5：计算女性不喜爱人数
女性不喜爱人数为女性游客人数减去女性喜爱人数。
步骤 6：计算男性不喜爱人数
男性不喜爱人数为男性游客人数减去男性喜爱人数。
步骤 7：填写2×2列联表
根据以上计算结果填写2×2列联表。
步骤 8：计算χ^{2}值
使用公式${χ^2}=\frac{{n{{（ad-bc）}^2}}}{{（{a+b}）（{c+d}）（{a+c}）（{b+d}）}}$计算χ^{2}值。
步骤 9：判断是否能有90%的把握认为“游客喜爱该旅游产品与性别有关”
比较χ^{2}值与2.706，判断是否能有90%的把握认为“游客喜爱该旅游产品与性别有关”。