设X～N(3,22),(1)求P(2＜X≤5)，P{-4＜X≤10)，P{|X|＞2)，P{X＞3)；(2)确定c使得P{X＞c)=P(X≤c)；(3)设d满足P(X＞d)≥0.9，问d至多是多少?↑φ(x)-|||-D(x)-|||-k-|||-x x

考查要点：本题主要考查正态分布的概率计算、分位数的求解，以及利用标准正态分布表进行数值查表的能力。

解题核心思路：

1. 标准化转换：将任意正态分布$X \sim N(\mu, \sigma^2)$转化为标准正态分布$Z = \frac{X - \mu}{\sigma}$，利用标准正态分布函数$\Phi(z)$计算概率。
2. 对称性应用：正态分布的对称性可简化中位数求解。
3. 分位数定义：通过概率不等式确定分位数对应的临界值。

破题关键点：

• 标准化公式：$Z = \frac{X - \mu}{\sigma}$是连接原变量与标准正态变量的桥梁。
• 分位数性质：中位数对应概率$P(X \leq c) = 0.5$，分位数$c$满足$\Phi\left(\frac{c - \mu}{\sigma}\right) = p$。
• 查表技巧：根据概率值反查标准正态分布表，确定对应的$z$值。

(1) 概率计算

$P(2 < X \leq 5)$

1. 标准化：
   $Z_1 = \frac{2 - 3}{2} = -0.5$，$Z_2 = \frac{5 - 3}{2} = 1$
2. 查表计算：
   $P(2 < X \leq 5) = \Phi(1) - \Phi(-0.5) = 0.8413 - (1 - 0.6915) = 0.5328$

$P(-4 < X \leq 10)$

1. 标准化：
   $Z_1 = \frac{-4 - 3}{2} = -3.5$，$Z_2 = \frac{10 - 3}{2} = 3.5$
2. 查表计算：
   $\Phi(3.5) \approx 1$，$\Phi(-3.5) \approx 0$，故$P(-4 < X \leq 10) \approx 1 - 0 = 1$

$P(|X| > 2)$

1. 拆分事件：
   $P(X > 2 \text{ 或 } X < -2) = P(X > 2) + P(X < -2)$
2. 标准化：
   $Z_1 = \frac{2 - 3}{2} = -0.5$，$Z_2 = \frac{-2 - 3}{2} = -2.5$
3. 查表计算：
   $P(X > 2) = 1 - \Phi(-0.5) = 0.6915$，$P(X < -2) = \Phi(-2.5) = 0.0062$
   总概率：$0.6915 + 0.0062 = 0.6977$

$P(X > 3)$

1. 对称性：
   $X$的均值为$3$，故$P(X > 3) = 0.5$

(2) 确定$c$使得$P(X > c) = P(X \leq c)$

1. 中位数性质：
   正态分布的中位数等于均值，故$c = \mu = 3$

(3) 确定$d$使得$P(X > d) \geq 0.9$

1. 分位数定义：
   $P(X \leq d) \leq 0.1$，对应标准正态分布的$0.1$分位数
2. 查表求$z$值：
   $\Phi(z) = 0.1$时，$z \approx -1.28$
3. 反推$d$：
   $-1.28 = \frac{d - 3}{2} \Rightarrow d = 3 - 2 \times 1.28 = 0.44$