2.设X1,X2,···,Xn为来自总体X的样本,X的分布-|||-如下,试求分布中未知参数的矩估计与最大似然估计,-|||-(1)总体X的概率密度函数为-|||-(x,lambda )= ) lambda (e)^-xcdot xgt 0 0. xleqslant 0 .-|||-(3)总体 approx B(1,p), 其中p未知, lt plt 1.

考查要点：本题要求分别求出三个不同总体分布的未知参数的矩估计与最大似然估计，涉及指数分布、幂函数分布和伯努利分布。

解题思路：

1. 矩估计：通过总体矩与样本矩相等建立方程，解方程得到参数估计值。
2. 最大似然估计：通过构造似然函数并求导，找到使似然函数最大的参数值。

关键点：

• 指数分布的期望为 $1/\lambda$，矩估计与MLE结果相同。
• 幂函数分布的矩估计需计算期望，MLE需处理对数似然函数的导数。
• 伯努利分布的矩估计和MLE均简化为样本均值。

第（1）题：指数分布 $f(x,\lambda)=\lambda e^{-\lambda x}$

矩估计

总体期望 $E(X)=1/\lambda$，令样本均值 $\bar{X} = 1/\lambda$，解得 $\hat{\lambda}_M = 1/\bar{X}$。

最大似然估计

似然函数 $L(\lambda)=\lambda^n e^{-\lambda \sum x_i}$，对 $\lambda$ 求导并令导数为零，解得 $\hat{\lambda}_{MLE} = n/\sum x_i = 1/\bar{X}$。

第（2）题：幂函数分布 $f(x,\theta)=\theta x^{\theta-1}$

矩估计

总体期望 $E(X)=\int_0^1 \theta x^\theta dx = \theta/(\theta+1)$，令 $\bar{X} = \theta/(\theta+1)$，解得 $\hat{\theta}_M = \bar{X}/(1-\bar{X})$。

最大似然估计

对数似然函数 $\ln L(\theta)=n\ln\theta + (\theta-1)\sum \ln x_i$，对 $\theta$ 求导并令导数为零，解得 $\hat{\theta}_{MLE} = -n/\sum \ln x_i$。

第（3）题：伯努利分布 $X \sim B(1,p)$

矩估计

总体期望 $E(X)=p$，令样本均值 $\bar{X} = p$，解得 $\hat{p}_M = \bar{X}$。

最大似然估计

对数似然函数 $\ln L(p)=\sum x_i \ln p + (n-\sum x_i)\ln(1-p)$，对 $p$ 求导并令导数为零，解得 $\hat{p}_{MLE} = \sum x_i / n = \bar{X}$。