题目
8、设X1,X2,···Xn是来自总体X的样本, overline (X)=dfrac (1)(n)sum _(i=1)^n(X)_(i) 为其样本均值,则方差-|||-D(X)与D(X )的关系是 【 】-|||-A、 (overline (X))=D(X) B、 (overline (X))=dfrac (1)(n)D(X) C、 (overline (X))=noverline (X)(X) D、无法确定
题目解答
答案
解析
步骤 1：定义样本均值
样本均值 $\overline{X}$ 定义为所有样本值的平均值，即 $\overline{X} = \dfrac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}X_i$，其中 $X_i$ 是第 $i$ 个样本值，$n$ 是样本数量。
步骤 2：计算样本均值的方差
样本均值的方差 $D(\overline{X})$ 可以通过方差的性质来计算。根据方差的性质，对于任意常数 $a$ 和随机变量 $X$，有 $D(aX) = a^2D(X)$。因此，$D(\overline{X}) = D\left(\dfrac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}X_i\right) = \dfrac{1}{n^2}D\left(\sum_{i=1}^{n}X_i\right)$。
步骤 3：利用独立同分布的性质
如果 $X_1, X_2, \ldots, X_n$ 是独立同分布的随机变量，则 $\sum_{i=1}^{n}X_i$ 的方差等于每个 $X_i$ 的方差之和，即 $D\left(\sum_{i=1}^{n}X_i\right) = \sum_{i=1}^{n}D(X_i) = nD(X)$。因此，$D(\overline{X}) = \dfrac{1}{n^2} \cdot nD(X) = \dfrac{1}{n}D(X)$。
样本均值 $\overline{X}$ 定义为所有样本值的平均值，即 $\overline{X} = \dfrac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}X_i$，其中 $X_i$ 是第 $i$ 个样本值，$n$ 是样本数量。
步骤 2：计算样本均值的方差
样本均值的方差 $D(\overline{X})$ 可以通过方差的性质来计算。根据方差的性质，对于任意常数 $a$ 和随机变量 $X$，有 $D(aX) = a^2D(X)$。因此，$D(\overline{X}) = D\left(\dfrac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}X_i\right) = \dfrac{1}{n^2}D\left(\sum_{i=1}^{n}X_i\right)$。
步骤 3：利用独立同分布的性质
如果 $X_1, X_2, \ldots, X_n$ 是独立同分布的随机变量，则 $\sum_{i=1}^{n}X_i$ 的方差等于每个 $X_i$ 的方差之和，即 $D\left(\sum_{i=1}^{n}X_i\right) = \sum_{i=1}^{n}D(X_i) = nD(X)$。因此，$D(\overline{X}) = \dfrac{1}{n^2} \cdot nD(X) = \dfrac{1}{n}D(X)$。