题目
17.已知水平锻造机生产的产品尺寸X服从正态分布N(μ,σ^2),今从中随机抽取20件-|||-产品,得如下尺寸数据:-|||-31.44 31.44 31.72 31.04 332.22 31.17 31.58 31.87 3-|||-31.98 31.68 31.84 31.62 331.88 31.29 31.73 32.12 3-|||-试求σ^2及σ的置信水平为0.95的置信区间.
题目解答
答案
解析
步骤 1：计算样本均值和样本方差
首先，我们需要计算样本均值 $\bar{x}$ 和样本方差 $s^2$。样本均值 $\bar{x}$ 是所有样本值的平均值，样本方差 $s^2$ 是样本值与样本均值之差的平方的平均值。
步骤 2：确定置信区间
对于正态分布，样本方差的置信区间可以通过卡方分布来确定。具体来说，样本方差 $s^2$ 的置信区间为：
$$
\left(\frac{(n-1)s^2}{\chi^2_{\alpha/2}}, \frac{(n-1)s^2}{\chi^2_{1-\alpha/2}}\right)
$$
其中，$n$ 是样本数量，$\chi^2_{\alpha/2}$ 和 $\chi^2_{1-\alpha/2}$ 是卡方分布的分位数，$\alpha$ 是显著性水平，这里 $\alpha = 0.05$。
步骤 3：计算置信区间
根据样本数据，计算样本均值 $\bar{x}$ 和样本方差 $s^2$，然后使用卡方分布的分位数计算 $\sigma^2$ 和 $\sigma$ 的置信区间。
首先，我们需要计算样本均值 $\bar{x}$ 和样本方差 $s^2$。样本均值 $\bar{x}$ 是所有样本值的平均值，样本方差 $s^2$ 是样本值与样本均值之差的平方的平均值。
步骤 2：确定置信区间
对于正态分布，样本方差的置信区间可以通过卡方分布来确定。具体来说，样本方差 $s^2$ 的置信区间为：
$$
\left(\frac{(n-1)s^2}{\chi^2_{\alpha/2}}, \frac{(n-1)s^2}{\chi^2_{1-\alpha/2}}\right)
$$
其中，$n$ 是样本数量，$\chi^2_{\alpha/2}$ 和 $\chi^2_{1-\alpha/2}$ 是卡方分布的分位数，$\alpha$ 是显著性水平，这里 $\alpha = 0.05$。
步骤 3：计算置信区间
根据样本数据，计算样本均值 $\bar{x}$ 和样本方差 $s^2$，然后使用卡方分布的分位数计算 $\sigma^2$ 和 $\sigma$ 的置信区间。