[例4.15]从某鱼场收虾的总体中,随机取20尾对虾,测得平均体长 overline (x)=120mm,-|||-标准差 =15mm, 试估计置信度为99 %的对虾总体平均数。

考查要点：本题主要考查小样本情况下总体均值的置信区间估计，涉及t分布的应用。

解题核心思路：

1. 判断使用t分布：由于总体方差未知，且样本量较小（n=20），需用样本标准差s代替总体标准差σ，采用t分布。
2. 确定自由度和临界值：自由度df = n-1 = 19，查t表得临界值t₀.₀₁。
3. 计算标准误：公式为 $S_{\overline{x}} = \dfrac{s}{\sqrt{n}}$。
4. 构造置信区间：利用公式 $\overline{x} \pm t_{\alpha/2} \cdot S_{\overline{x}}$。

破题关键点：

• 正确选择分布类型（t分布而非z分布）。
• 准确计算标准误和置信区间边界。

步骤1：确定分布与临界值

• 总体方差未知，使用t分布。
• 自由度：$df = n - 1 = 20 - 1 = 19$。
• 查t表：当置信度99%（α=0.01）时，临界值 $t_{0.01} = 2.861$。

步骤2：计算标准误

$S_{\overline{x}} = \dfrac{s}{\sqrt{n}} = \dfrac{15}{\sqrt{20}} \approx 3.354 \, (\text{mm})$

步骤3：构造置信区间

• 置信区间公式：
  $\overline{x} \pm t_{\alpha/2} \cdot S_{\overline{x}}$
• 具体计算：
  • 下限：$120 - 2.861 \times 3.354 \approx 110.4 \, (\text{mm})$
  • 上限：$120 + 2.861 \times 3.354 \approx 129.6 \, (\text{mm})$